Elementleri. Aytımlar hám olar ústinde

A  B
S = A  B. A B

S = A \ B .

A  V. A  V = (A \ B)  (B \ A)

Eger x hám y haqıyqıy sanlardıń
(x, y)
juplıqları ushın teńlik túsinigi hám

qosıw hám kóbeytiw ámelleri tómendegishe anıqlanǵan bolsa, onda bul juplıqlar
kompleks san dep ataladı.

1. 
   Eki
   

(x₁, y₁ ) hám
(x₂ , y₂ )
kompleks sanlar teń dep esaplanadı sol waqıtta

hám tek sol waqıtta, eger
x₁  x₂
hám
y₁  y₂
bolsa.

2. (x₁  x₂ ,
y₁  y₂ )
kompleks san
(x₁, y₁ ) hám
(x₂ , y₂ )
kompleks

sanlarınıń qosındısı dep ataladı.

3. (x₁ x₂  y₁ y₂ ,
x₁ y₂  x₂ y₁ )
kompleks san
(x₁, y₁ ) hám
(x₂ , y₂ )
kompleks

sanlarınıń kóbeymesı dep ataladı.
Solay etip, kompleks sannıń anıqlaması boyınsha

(x₁ , y₁ )  (x₂ , y₂ )  x₁  x₂ ,
(x₁ , y₁ )  (x₂ , y₂ )  ( x₁  x₂ ,
y₁  y₂ ;
y₁  y₂ ) ;

(x₁ , y₁ )  (x₂ , y₂ )  (x₁ x₂  y₁ y₂ , x₂ y₁  x₁ y₂ ) .
(x, 0) komspleks sanı x haqıyqıy sanına teńlestiriledi.
(0,1) kompleks sanı jormal birlik dep ataladı hám i simvolı menen belgilenedi:
i =(0,1).
i²  i  i  (0,1) (0,1)  (1,0)  1 .
Kompleks sannıń anıqlamasınan
(0, y)  (0, 1) ( y, 0)  i y,
^`(x, y)  (x, 0)  (0, y)  x  i y

teńliklerine iye bolamız.
Solay etip, hár bir

(x, y)

kompleks sandı

z  x  i y

kórinisinde jazıw

múmkin. Kompleks sannıń
z  x  i y
kórinisinde jazılılwı kompleks sannıń

jazılıwınıń algebralıq forması dep ataladı. i y kompleks sanı jorıma san dep

ataladı. Dara jaǵdayda, bolatuǵın jalǵız bir san.
z  0
sanı bir waqıtta hám haqıyqıy, hám jorıma san

Algebralıq formada jazılǵan eki
z₁  x₁  i y₁
hám
z₂  x₂  i y₂
kompleks

sanlarınıń teńligi, qosındısı hám kóbeymesi tómendegishe anıqlanadı:
z₁  z₂  x₁  x₂ , y₁  y₂
z₁  z₂  (x₁  x₂ )  i( y₁  y₂ )
z₁ z₂  (x₁ x₂  y₁ y₂ )  i(x₁ y₂  y₁ x₂ ).

x sanı
z  x  i y
kompleks sanınıń haqıyqıy bólegi, al y sanı- jorıma

bólegi dep ataladı hám
x  Re z,
y  Im z
dep belgilenedi.

x  i y
kompleks sanı
z  x  i y
kompleks sanınıń túyinlesi dep ataladı

hám
z  x  iy
dep belgilenedi. Hár bir z kompleks san ushın



(z)  z
teńlik

orınlı.


z  z
teńlik z sanı haqıyqıy san bolsa hám tek sol waqıtta ǵana orınlı.

sanı z kompleks sannıń moduli dep ataladı hám z  dep

belgilenedi. Qálegen z kompleks sanı ushın
z  0
bolıp,
z  0  z  0.
Haqıyqıy

sannıń moduli onıń absolyut mánisine teń. Kompleks sanlardıń modul`leri ushın

teńlikler orınlı.

z  z
zz  z ²

Kompleks sanlar ústinde ámeller hám olardıń qásiyetleri. Kompleks sanlardı qosıw hám kóbeytiw ámelleri tómendegishe qásiyetlerge iye:

1. 
   Kommutativlik: z₁+z₂=z₂+z₁ , z₁z₂=z₂z₁.
   
2. 
   Assoсiativlik: (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃).
   
3. 
   Distributivlik: z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃.
   

Kompleks sanlar kópliginde qosıw ámeline keri ámeldi- alıw ámelin hám kóbeytiw ámeline keri ámeldi- bóliw ámelin kiritiw múmkin:
z₁  z₂  (x₁  x₂ )  i ( y₁  y₂ ),

z_{1 } x₁ x₂  y₁ y₂
z x²  y²

• 
  _i x₂ y₁  x₁ y₂
  

x²  y²
(z₂
 0).

2 2 2 2 2

Kompleks sanlardıń geometriyalıq interpretaсiyası. Kompleks tegislik.

Meyli, tegislikte tuwrı múyeshli koordinatalar sisteması berilgen bolsın.
z  x  i y kompleks sanına tegisliktiń (x, y) noqatı sáykes qoyıladı hám bul noqat

sol z háribi menen belgilenedi (1- súwret).
Бундай с1йкеслик бир м1нисли с1йкеслик болады. Бунда 8а3ый3ый санлар абсциссалар к5шерини4 но3атлары ар3алы, ал жорыма санлар ординаталар к5шерини4 но3атлары ар3алы с67ретленеди.Сонлы3тан абсциссалар к5шери 8а3ый3ый к5шер, ал ординаталар к5шери жорыма к5шер деп аталады. Комплекс санлар с67ретленету2ын тегислик комплекс тегислик деп аталады.
81м комплекс

sanları koordinatalar basına qarata, al z hám z sanları haqıyqıy kósherge qarata

simmetriyalıq.
z kompleks sanı bası koordinatalar basında, al aqırı z noqatında bolǵan vektor menen de súwretlenedi (1-súwret). Kompleks sanlar hám kompleks tegisliktiń bası

koordinatalar basında jaylasqan vektorları arasındaǵı bunday sáykeslik óz-ara bir mánisli sáykeslik boladı. Sonlıqtan z kompleks sanın súwretlewshi vektor da z háribi menen belgilenedi.

Matematikalıq logika elementleri. Aytımlar hám predikatlar, olar ústinde ámeller.

Aytımlar esabi aksiomatikaliq logikaliq sistema bolıp, aytimlar algebrasi onın’ interpretaсiyasi.
berilgen aksiomalar sistemesi tiykarinda (bazasinda) qaralg’an aksiomatikaliq teoriya dep usi aksiomalar sistemesina su’yenip da’lilleniwshi barliq teoremalar jiynag’ina aytiladi.
Aksiomatikaliq teoriya formal ha’m formal emes teoriyalarg’a bo’linedi.
Formal emes aksiomatikaliq teoriya teoriyaliq-ko’plik mazmun menen toltirilg’an bolıp, keltirip shig’ariw tu’sinigi aniq berilmegen ha’m bul teoriya tiykarlanip pikr muzmunina su’yenedi.
Qaralip atirg’an aksiomatikaliq teoriya ushin to’mendegi sha’rtler orinlang’an bolsa, yag’niy:

1. 
   Teoriyanin’ tili berilgen; 2)Formula tu’sinigi aniqlang’an;
   

3. 
   Aksiomalar dep atalatug’ın formulalar ko’pligi berilgen;
   
4. 
   Bul teoriyada keltirip shig’ariw qag’ıydası aniqlang’an bolsa, formal aksiomatikaliq teoriya aniqlang’an dep esaplanadı.
   

To’mende aytimlar esabinin’ simbolları, formulasi, aksiomalar sistemesi, keltirip shig’ariw qag’ıydalari, formulalar jıynag’ınan formulani keltirip shig’ariw qag’ıydası, dedukсiya ha’m ulıwmalasqan dedukсiya teoremalari, ayrim logika nızamlıqlarının’ da’lili, aytimlar algebrasi ha’m aytimlar esabi arasindag’i qatnaslar, aytimlar esabinda sheshiliw, qarsiliqsiz, toliqliliq ha’m erkinlik mubiraqlari siyaqli ma’selelar bayan etiladi.

Aytımlar esabi formulasi tu’sinigi

Ha’r qanday esaptin’ mag’anasi bul esaptin’ simbolları mag’anasinan, formulalar ha’m keltirip shig’ariw formulalari anıqlamasınan ibarat.
Aytımlar esabinda u’sh kategoriyali simvollardan ibarat alfavit qabıl qılınadı:
Birinshi kategoriya simbolları: . Bul simbollardı o’zgeriwshiler dep ataymiz.
Ekinshi kategoriya simbolları: , , . Bular logikaliq baylanıslar. Birinshisi – dizyunkсiya yamasa logikaliq ko’shiw belgisi, ekinshisi – konyunkсiya yamasa logikaliq ko’beyme belgisi, u’shinshisi – implikaсiya belgisi ha’m to’rtinshisi
– biykarlaw belgisi dep ataladi.
Ushinshi kategoriyag’a qawıs dep atalatug’ın ( , ) simvol kiritiledi. Aytımlar esabinda basqa simvollar joq.
Aytımlar esabinin’ formulasi dep aytimlar esabi alfaviti simbollarınin’ belgili bir izbe-izligine aytiladi.
Formulalardi belgilew ushin latin alfavitinin’ u’lken ha’riplerinen paydalanamiz. Bul ha’ripler aytimlar esabinin’ simbolları qatarina kimeydi. Olar tek g’ana formulalardin’ sha’rtli belgileri bolıp xizmet qiladi.
Endi formula tu’sinigi aniqlamasin bereyik. Bul tu’sinik to’mendegishe aniqlanadi:

1. 
   ha’r qanday o’zgeriwshilernin’ qa’legen biri formula;
   
2. 
   eger ha’m larnin’ ha’r biri formula bolsa, onda ( ), ( ), (
   

) ha’m lar da formulalar boladi.

3. 
   basqa hesh qanday simvollar qatari formula bola almaydi. O’zgeriwshilerdi elementar formulalar dep ataymiz.
   

Misal. Formula aniqlamasinin’ 1-bo’limine ko’re o’zgeriwshiler formulalar boladi. Onda aniqlamanin’ 2-bo’limine muwapiq , ,
, lar ha’m formulalar boladi. Usinday izbe-izlikte ,
, lar ha’m formulalar boladi.
To’mendegilar formula bola almawin tu’sindirin’:
, , , , .
U’les formula tu’sinigini kiritemiz:

1. 
   Elementar formula ushin tek onın’ o’zi u’les formula.
   
2. 
   Eger formula bolsa, onda usi formulanin’ o’zi, formula ha’m formulanin’ barliq u’les formulalari onın’ u’les formulalari boladi.
   
3. 
   Eger formula ko’rinisinde bolsa (bul jerde ha’m Bunnan keyin ornina , , simbollardıng qa’legenini tushunamiz), onda usi formulanin’ o’zi, ha’m formulalar ha’mde ha’m formulalardin’ barliq u’les formulalari formulanin’ u’les formulalari boladi.
   

Ma’selen, formula ushin:


- nolinshi qatardag’i u’les formula, birinshi qatardag’i u’les formulalar,
- ekinshi qatardag’i u’les formulalar,
- ushinshi qatardag’i u’les formulalar,
z – to’rtinshi qatardag’i u’les formula dep ataladi.
Formulalardi jaziwda ayirim a’piwayilastiriwlardi qabıl qilamiz. Aytimlar algebrasidag’i siyaqli formulalar jaziwdag’i qawıslardi tu’sirip qaldiriwg’a kelisemiz.
Bul kelisiwge tiykarlanip , , formulalardi sa’ykes tu’rde , , ko’rinisinde jazamiz.

Tapsırmalar:

1. Kóplikler ústinde qanday ámeller orınlanadı?
2. A={1,3,5,7,9}, B={2,4,6,7,8,9,10} bolsa, AB=?

Ádebiyat

1. N.Hamedova, Ya.Ibragimova, T. Tasetov. Matematika, Toshkent, «Turon- Iqbol» 2007.