Элементы теории поля

Замечание об определении векторных полей
Во многих технических проблемах часто встречаются задачи об определении векторного поля по заданному ротору и дивергенции этого поля. В курсе математической физики доказана теорема:
Векторное поле однозначно определено внутри некоторой области, ограниченной замкнутой поверхностью, если заданы ротор и дивергенция поля внутри области, а на ее границе задана нормальная составляющая вектора вихревой части.
В соответствии с этой теоремой любое векторное поле может быть представлено в виде суммы вихревой и потенциальных частей.

Гармоническое поле

Векторное поле называется гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным.
Для гармонического векторного поля, согласно определению, выполняется , .
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного потенциального потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.
Потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа и является гармонической функцией. В самом деле, так как гармоническое поле является и потенциальным, существует его потенциал , допускающий представление . Так как поле одновременно и соленоидальное, то .
Последнее равенство можно переписать, используя оператор Лапласа

Потенциал гармонического поля является гармонической функцией.

Задачи для самостоятельного решения

1. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям .

2. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям ,
3. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям .
4. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям ,
5. Найти поверхности уровня потенциала электростатического поля точечного заряда, где е – величина заряда, r – расстояние от точки М до точки, где находится электрический заряд.
6. Найти производную скалярного поля, заданного функцией в точке в направлении биссектрисы первого координатного угла.
Ответ: 15 .
7. Найти производную скалярного поля, заданного функцией в точке по направлению вектора .
Ответ: 0.
8. Найти производную скалярного поля, заданного функцией по направлению вектора в точках .
Ответ: −1; 0.
9. Найти производную скалярного поля, заданного функцией по направлению вектора в точке , если координаты точки .
Ответ: 4.
10. Найти градиент скалярного поля в точке .
Ответ: (1;1;2).
11. Найти направление, в котором скалярное поле в точке имеет наибольший рост.
Ответ: (-5; 1; 3).
12. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .
Ответ: 5.
13. Найти направление и наибольшую скорость возрастания скалярного поля, заданного функцией , в точке .
Ответ: 6.
14. Найти нормаль к поверхности уровня пространственного поля в точке .
Ответ: (1; −4; 4).
15. Задано векторное поле, описывающее движение точки в пространстве, имеет вид . Найти поле ускорения точки в пространстве. Вычислить его значение в момент времени .
Ответ: .
16. Векторное поле, описывающее движение точки в пространстве, имеет вид . Найти векторное поле, описывающее ускорения точки в пространстве. Вычислить его значение в момент времени .
Ответ: .
17. Дано векторное поле . Найти векторные линии поля.
Ответ: .
18. Дано векторное поле , где ‑ постоянная величина. Найти векторные линии поля.
Ответ: .
19. Найти дивергенцию векторного поля .
Ответ: .
20. Найти дивергенцию векторного поля .
Ответ: 0.
21. Вычислить ротор векторного поля в точке .
Ответ:
22. Вычислить ротор векторного поля в точке .
Ответ:
23. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал .
Ответ: поле соленоидальное и потенциальное, .
24. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал
Ответ: поле несоленоидальное и потенциальное, .
25. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал .
Ответ: поле соленоидальное и потенциальное, .
26. Выяснить, является векторное поле потенциальным и соленоидальным, если . В случае потенциальности поля найти его потенциал .
Ответ: поле соленоидальное и потенциальное, .
27. Показать, что векторное поле является гармоническим.
28. Показать, что поле, заданное функцией является гармоническим в точках непрерывности функции и ее вторых частных производных.

Библиографический список