Ekstremumlar nazariyasining geometriya, mexanika, va fizika masalalariga tadbiqlari reja

Ekstremumlar nazariyasining geometriya, mexanika, va fizika masalalariga tadbiqlari


REJA:

1. 
   Funksiyalarning ekstremumlari
   
2. 
   Ekstremum mavjud bo`lishining zaruriy sharti
   
3. 
   Ekstremum mavjud bo`lishining yetarli shartlari.
   
4. 
   Funksiyalarning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
   

Funksiyalarning ekstremumlari
1-ta`rif. Agar funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu

(1)

tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning minimum nuqtasi deyiladi; ƒ( ) esa ƒ(x) funksiyaning minimumi deyiladi.

2-ta`rif. Agar ƒ(x) funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu

ƒ(x)<ƒ( ) (2)

tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning maksimum nuqtasi deyiladi; ƒ( ) esa ƒ(x) funksiyaning maksimumi deyiladi.

3-ta`rif. ƒ(x) funksiyaning minimum yoki maksimum nuqtalari uning ekstremum nuqtalari deyiladi, ƒ(x) funksiyaning minimumi yoki maksimumi uning ekstremumi deyiladi.

4-ta`rif. Agar ƒ(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz, x<sub>o</sub> nuqta (a, b) intervalning (yoki [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarim intervallarning) biror nuqtasi bo`lib, shu intervalning x_o dan farqli barcha nuqtalari uchun ushbu ƒ(x) <ƒ(x_o) tengsizlik bajarilsa, u holda ƒ(x_o) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng katta qiymati deyiladi; agar ƒ(x)>ƒ(x_o) tengsizlik bajarilsa, ƒ(x_o) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng kichik qiymati deyiladi.

Y

1

X

1

-1

0

1-chizma

2-chizma

Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun bu ta`rifga misollar ko`raylik.

1. 
   ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu kesmaning chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati nolga teng; ichki nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut qiymati bo`yicha kamaygan sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 bo`lganda esa u o`zining eng katta qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi.
   
2. 
   ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 bo`lganda nolga, demak ƒ(x) funksiyaning qiymati + ga intiladi. Ammo berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, ) yarim intervaldan iborat bo`lib, funksiyaning eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga u istalgancha katta miqdordir.
   

Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik qiymati 0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi.

5-ta`rif. Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning bir necha ichki nuqtasi:

1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta qiymati deyiladi.

2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi ƒ(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi.

Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi (a,b) intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi.

Ferma teorimasi. ƒ(x) funksiya biror (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bo`lib shu intervalning biror x<sub>o</sub> nuqtasida o`zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsin. Agar ƒ`(x<sub>o</sub>) hosila mavjud bo`lsa, u holda shu hosila nolga teng bo`ladi, ya`ni ƒ`(x_o)=0.

Isboti. Aniqlik uchun ƒ(x)funksiya x_o nuqtada o`zining eng katta qiymatiga erishsin deylik, ya`ni Bundan agar x_o bo`lsa,

(3)

Agar x>x_o bo`lsa,

(4)
tengsizliklarni yozish mumkin. Teorimaning shartiga ko`ra, ƒ`(x_o) hosila mavjud. Shuning uchun (3) tengsizlikdan da ni (4) dan da ni hosil qilamiz. Bu ikki munosabatdan f`(x<sub>o</sub>)=0 ekani chiqadi. Teorima isbot bo`ldi.