Ekstremumlar nazariyasining geometriya, mexanika, va fizika masalalariga tadbiqlari reja

Ekstremum mavjud bo`lishining zaruriy sharti
1-teorima. Agar x<sub>o</sub> nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya uchun x<sub>o</sub> nuqta ekstremum nuqta bo`lsa, u holda ƒ`(x_o) hosila yo nolga teng, yo mavjud emas.

Isboti: nuqtaning shunday atrofini olamizki, u atrofda ƒ(x) funksiyaning boshqa ekstremum nuqtasi bo`lmasin. Jumladan, biror δ>0 uchun ( ) interval shunday atrof xizmatini o`taydi. Shuning uchun, ( ) intervalning nuqtasida funksiya yo eng katta, yo eng kichik qiymatga erishadi; demak, Ferma teorimasiga ko`ra, agar mavjud bo`lsa, bo`ladi. Ammo nuqtada mavjud bo`lmasligi ham mumkin.

a

x₀

b

0

a

a
y

-chizma








x

x₀


a

b

b-chizma

Ta`kidlab aytamizki, agar biror nuqtada yoki mavjud bo`lmasa, bundan x_o nuqtaning ekstremum nuqta ekani kelib chiqmaydi. Jumladan, funksiya uchun hosila, ya`ni nuqtada mavjud va nolga teng. Ammo bu nuqta ekstremum nuqtasi emas.
1-ta`rif. Biror sohada uzluksiz bo`lgan ƒ( ) funksiyaning hosilasini nolga aylantiradigan yoki hosila mavjud bo`lmaydigan nuqtalar stasionar(kritik)nuqtalar deyiladi.
Mashqlar. Ushbu funksiyalarning stasionar nuqtalarini topish.

1. | x |+2. 5. |cosx|.

6.

2. 7.

3. tg3x 8.

4. arc tgx