Ekonometrika asoslari

у



в


у


О


х


х

О

у

З.1.- Rasm. Ikki o'zgaruvchi orasidagi bog'lanishni miqdoriy jihatdan baholashda qo'llaniladigan egri chiziqlarning asosiy turlari

у

а) у_х = а + b ■ х + с ■ х²; a) у_х = а + Ъ • х + с • х² + d • х³ а) у_х=а- Ь^х

Regressiya tenglamasini tanlashning analitik usuli ko'proq amalda qo'llaniladi. Ushbu usul tahlil qilinayotgan ko'rsatkichlarning o'zaro bog'lanish tabiatini o'rganishga asoslanadi.

Masalan, korxonaning elektr energiyaga bo'lgan talabi (y) ishlab chiqarilayotgan mahsulot xajmi (x)ga bog'liq holda o'rganilayotgan bo'lsin. Barcha iste'mol qilingan elektr energiya (y)ni ikki qismga bo'lish mumkin:

• 
  a, ishlab chiqarish bilan bog'liq bo'lmagan;
  
• 
  b-x, ishlab chiqarish hajmi ko'payishi bilan proportsional ravishda ortib boruvchi bevosita ishlab chiqarish hajmi bilan bog'liq bo'lgan qismlarga.
  

U holda elektr energiya iste'molining mahsulot hajmiga bog'Hqligini quyidagi regressiya tenglamasi orqali ifodalash mumkin:

у = a + b ■ x (3-3)

Agar tenglamaning ikkala qismini ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi(jc)ga bo'lsak |^ = — j, u holda elektr energiyaning mahsulot birligiga solishtirma sarfini

ishlab chiqarilgan mahsulot xajmi(jc)ga bog'lanishini ifodalovchi quyidagi teng tomonli giperbola tenglamasini olamiz:

и ^a

z_x =b + -.

X

а) у _х =a + b-x; в) у_х =а + Ь/х; О) у_х=а-х^ь;

Xuddi shunday korxona xarajatlarini ishlab chiqarilgan mahsulot haj mining o'zgarishiga proportsional ravishda o'zgaruvchi (material xarajatlari, mehnat haqi va boshq.) shartli o'zgaruvchilarga va ishlab chiqarish hajmi o'zgarishi bilan o'zgarmaydigan (arenda haqi, boshqaruv xarajatlari va boshq.) shartli o'zgarmas xarajatlarga ajratish mumkin. (3.3) funktsiya diskret nuqtalarda (^-ko'rsatkichning diskret qiymatlarida) yuzaga kelishi mumkin bo'lgan hatoliklarni e'tiborga olgan holda quyidagi ko'rinishda ifodalanadi
y_x{x_i) = ^a + ^bxi+^£ (3-4)

Regressiya tenglamasini tanlashni analitik usulining mohiyati ohirgi (3.4) tenglamada a, b - parametrlarning qiymatlarini aniqlash hamda s - tasodifiy miqdorni baholashdan iborat.

s -tasodifiy miqdorni baholashda qoldiq dispersiyadan foydalaniladi. Qoldiq dispersiya quydagicha ifodalanadi.

(3.5)

n

Agarda qoldiq dispersiya <7²_юл = о bo'lsa, natjaviy belgining asl qiymatlari,

ularning nazariy qiymatlari bilan ustma-ust tushadi.

Demak, qoldiq dispersiyaning qiymati qanchalik nolga yaqin bo'lsa, regressiya tenglamasida e'tiborga olinmagan ko'rsatkichlarning ta'siri shunchalik kamligini va regressiya tenglamasi ko'rsatkichlari orasidagi bog'lanishni to'g'ri ifodalanishini ko'rsatadi.

Tadqiqotlar natijasi shuni ko'rsatadiki kuzatuvlar natijasida olinadigan ma'lumotlar soni o'zgaruvchi jc oldidagi hisoblanayotgan parametrlar sonidan 7-8

marta ko'p bo'lishi kerak, ya'ni y_x=a + bx chiziqli regressiya tenglamasi uchun

ma'lumotlar soni 7 tadan kam bo'lmasligi, v, =a + bx + cx² regressiya tenglamasi uchun esa 14 tadan kam bo'lmasligi kerak.

Ekonometrik modellar uzoq muddatli davrni o'z ichiga olgan (10, 20, 30 yil) dinamika qatorlari ma'lumotlari asosida tuzilishini e'tiborga olgan holda modellarni qurishda jc oldidagi parametrlarni kamroq olish maqsadga muvofiq.

Chiziqli regressiyani tuzish uning a va b parametrlarini baholashga olib keladi. Chiziqli regressiyaning parametrlarini baholash turli usullar bilan amalga oshiriladi.

Chiziqli regressiyaning parametrlarini baholashning klassik usullaridan biri eng kichik kvadratlar usuli(EKKU) dir.

EKKU (3.3) tenglamasining a va b parametrlarini shunday qiymatlarini topish imkoniyatini beradiki, natijaviy у belgining haqiqiy qiymatlarini hisoblangan у

nazariy qiymatlaridan og'ishi(farqi)ning kvadratlari yig'indisi minimum darajada bo'ladi va u quydagicha ifodalanadi:

n

£0'»-5О²->^тin (¹-⁶)

i=1

Agar nuqtalardagi og'ishlarni s, = v, -у_л. deb belgilasak (3.6) quyidagi ko'rinishni oladi:

n

^s² —» min .

7=1

П

^s² ni S bilan belgilab quyidagi ifodani yozamiz,

i=1

EKONOMETRIKA ASOSLARI 3

O'quv qo'llanma 3

⁼И^хг у,- 28

у = a + Ъ_х -x_x +b₂ -x₂ + ... + b -x +s, 95

u(Xj) = y/>0, i=l,2,.... n 176

(-] UJ 200

п п

n-a + b-Y,*,

i=i i=i

п п п

⁼И^хг у,-

i=i i=i i=i Ushbu tenglamalar tizimdan a va b larni topish mumkin.

a =

n

b = -

ч2Х)-(2»²

Topilgan parametrlarni mos ravishda a_o va b_o deb belgilaymiz. Shu a_o va b_o

n

qiymatlarda min shart bajariladi.

i=1

Chiziqli regressiya tenglamasida b parametr regressiya koeffitsienti deyiladi. Uning qiymati ta'sir etuvchi omil bir birlikda o'zgarganda natijaning o'rtacha qanchaga o'zgarishini ko'rsatadi. Masalan, ishlab chiqarish funktsiyasi у = 3000 + 2-л- bo'lsin (u - xarajat (mln.so'm), jc - mahsulot birligi miqdori). Ishlab

chiqarish funktsiyasidan ko'rinadiki mahsulot hajmining bir birlikka o'zgarishi ishlab chiqarish xarajatlarini o'rtacha 2 mln. so'mga ortishini ko'rsatadi, ya'ni qo'shimcha 1-birlik ishlab chiqarish uchun xarajatlarni o'rtacha 2 mln. so'mga ko'paytirishni talab etadi.

Regressiya tenglamasida a parametr у ning jc = 0 bo'lgandagi qiymati, jc omilning nol qiymatida a hech qanday iqtisodiy ma'noga ega bo'lmaydi, ayniqsa a< 0 bo'lganda.

a> 0 bo'lganda natijaning nisbiy o'zgarishi x omilning o'zgarishiga nisbatan sekinroq bo'ladi. Boshqacha aytganda у natijaning variatsiyasi jc omil variatsiyadan kichik, ya'ni jc bo'yicha variatsiya koeffitsienti у natija bo'yicha variatsiya koeffitsientidan katta: v_x > v_y.. Buni isbotlash uchun omil va natijaning

nisbiy o'zgarishlarini taqqoslab ko'ramiz:

dy dx л ■ dy у b-dx a + b-x

— <—yoki — <—; < ; b-x

у x dx x dx x

(3.8)

Bundan a > 0 ekanligi kelib chiqadi.
Misol. Faraz qilaylik, bir turdagi mahsulot ishlab chiqarish korxonalar guruhi bo'yicha berilgan ma'lumotlar asosida ishlab chiqarish funktsiyasini tuzish va uni tahlil qilish talab etiladi.