Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

i *

Bu holda P{E, = k } = — e~x . Shuning uchun x, e N da


Haqiqatga o‘xshashlik funksiyasini topamiz
n


U holda
n
In £ (x ,0 ) = -«0 + xt, • ln0 - In
va
tn£(x,0) dQ

160

Haqiqatga o ‘xshashlik tenglaraasi quyidagi ko‘rinishiga ega:

(

n + - V X: o.

fi Z-f '

I=I _i=e
Bu yerdan

ekanligini topamiz.
Endi

d 2 In Z.(x,0)		d	+ -0 f x
dO1		- «		'
	0=0	* ~ ~dQ	1=1	^/ 0=0	1=1
		^

ekanligini aniqlaymiz. Demak, 0* = 3c haqiqatga eng katta o‘xshash baho boiadi.

Eng kichik kvadratlar usuli (EKJKl)). Noma’lum parametr 0 uchun, tanlanma qiymatlarining izlanayotgan bahodan chet­ lanishi kvadratlarining yig‘indisini minimallashtirish asosida baho topish usuli eng kichik kvadratlar usuli deyiladi.

Boshqacna qilib aytganda, EKKUda 0* ning ushbu
G(0) = ^ ( x , - 0 ) 2 -> min
i=i

yig‘indini minimallashtiruvchi iymatini topish talab etiladi. 3-misol. EKKU yordamida Puasson taqsimotining X parametri
uchun baho topilsin.
Buning uchun G(0) = - 0 ) 2 funksiyaning minimum i=i
nuqtasini topamiz:
<7'(0) = V 2 (x ,.- 0 ) - ( - 1 ) -
[=i
Endi (7(0) = 0 tenglamadan kritik nuqtani aniqlamiz:

161

Z * - Z e . - o ,

1= /=1
n j n
bu yerdan V x, = n() va ®kr = —^ x, . Bu nuqta minimum nuq-
1=1 <=i
tasi bolishi uchun (/"(0t„)>O ekanligini ko'rsatishimiz kerak, ya’ni
G"(Qkr) = - 2 X ( x , . - 0 ) U - 2 X ( - D = 2«>O .
V (=1 - J i=1
1 ”

Demak, G(0) funksiyaning minimum nuqtasi Oir = - £ x, ekan
1 ~y i

va 0 = Xj baho X parametr uchun EKKU yordamida topil-1=1
gan baho bo'ladi.
6.7-§. Intervalli baholash. Ishonchlilik intervallari
Oldingi paragrafda ko‘rib chiqilgan bahoiaming hammasi nu­ qtaviy baholar edi. Agar tanlanmaning hajmi kichik bolsa, u hol­ da nuqtaviy baho baholanayotgan parametrdan sezilarli farq qili­ shi mumkin. Shu sababli tanlanma hajmi kichik bo‘lganida ba­ honing aniqligi va ishonchliligini yaxshiroq ta’minlaydigan inter­ val baholardan foydalanish- o‘rinliroqdir.
Avvalgidek, 0* = 0*(x1,x2,...xw) statistik baho 0 noma’lum
parametrning bahosi bo‘lsin. Tushunarliki, 10* - 0 j ayirma qan chalik ldchkina bo‘lsa, 0* statistik baho 0 parametmi shuncha aniq baholaydi. Statistik metodlar 0* baho | 9* —9 J< 8 tengsizlikm albatta qanoatlantiradi, deb tasdiqlashga to‘la imkon bermaydi, shu sababli bu tengsizlik amalga oshishi mumkin bolgan elm

162

mollik haqida gapirish mumkin. Agar 19* —0 | < 5 tengsizlik y ehtimollik bilan o‘rinli, ya’ni P (|o * - 0 |< s) = y boMsa, u holda y ehtimollikni 0 parametr uchun 0* statistik bahoning ishonchlilik ehtimolligi deyiladi. Odatda, bahoning ishonchlilik ehtimolligi old-indan berilgan bo‘ladi va birga yaqin qilib olinadi, masalan:

0,9; 0,95; 0,99; 0,999.
Faraz qilaylik, /*(! 0* - 0 |< 5) = y tenglik bajarilgan bo'lsin, u holda bu ifoda
pfle* - 8 < 0 < 0* + s|) = y
bilan teng kuchlidir, ya’ni (0 * - 5 , 0* +§) oraliq (interval) 0 no­ ma’lum parametrni o‘z ichiga olish ehtimolligi y ga teng.
Noma’lum Oparametrni berilgan y ishonchlilik ehtimolligi bi­ lan o‘z ichiga olgan (o * -8 , 0*+8) oraliq ishonchlilik intervali deyiladi.
Ishonchlilik intervalini topishga doir misol tariqasida quyidagi masalani ko'ramiz.
E, tasodifiy miqdor (a,or2) parametrlar bilan normal qonun bo'yicha taqsimlangan boMsin. ya’ni