Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

F( x) = P{ %< x ) = l l £ .
Agar x > b boisa, F(x) = 1 boiadi.
Demak, Fix') taqsimot funksiyasi quyidagi ko'rimshga ega:
0, agar x < a,
F ( x ) = \ - f ~ ’ a§ar a < x < b ,
( 1, agar x > b.
Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan t tasodifiy miqdor [a,b\ oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
Endi taqsimot funksiyasi xossalarini keltiramiz. t tasodifiy miq-dorning taqsimot funksiyasi F(x) bolsin . U holda F(x) quyidagi xossalarga ega:
FI. agar xy < x2 boisa, u holda /(x,) < F{x2) (monotonlik xossasi); F2. lim F(x) - 0, lim F( x) = 1 (chegaralanganlik xossasi);

52

F3. lim_-0 F( x) = F( x 0) (chapdan uzJuksiz.Hk xossa.si).
Isboti. x, < Xj uchun { % < x ,} c { ^ < x 2} boMganligi sababli FI xossasi ehtimollikning 3) xossasidan (1.3-§ ga qarang) bevositii kelib chiqadi.
F2 xossani isbotlash uchun quyidagi {x„} va {yn} sonli ketma-ketliklarni kiritamiz: {xn} kamayuvchi ketma-ketlik bo‘lib, xn-+- va {yn} o'suvchi keima-ketlik boMib, y„->+ bo‘lsin. An=fe Bn= {t< yn} to ‘plamlarni kiritamiz. xni- x , ekanidan An to ‘plamiar ketma-ketligi monoton kamayadi va nAn= 0 bo‘ladi. Ehtimolli­
kning uzluksizlik aksiomasiga binoan «->oo da U holda
lim F(x„) = 0 . B undan va F(x) funksiya m o n o to nlig id an

X->ZG
lim F(x) = 0 ekanligi kelib chiqadi. {yn} ketma-ketlik w-»°o da

X-+-CG

+00 ga monoton yaqinlashganligi uchun Bn to'plamlar ketma-ketligi ham o‘suvchi boMib, u5„= Q boMadi, binobarin, ehtimollikning xossasiga asosan n->x da P(Bn) -» 1 boMadi. Bundan, xuddi aV-

valgidek, lim F (>>„ ) = 1, lim .F(x) = l munosabatlar kelib chi-

qadi.
oc X->oo

F3 xossani isbotlash uchun A = < x0}, A„ = {£ < xn} hodi-salarni kiritamiz. {xn} ketma-ketlik o'suvchi boMib, uA„=A boMadi.

Binobarin. P(A„) -+ P(A). Bundan lim F(x) = F( x 0) tenglik x-**o
kelib chiqadi.

Shuni ta ’kidlab oMish lozimki, agar taqsim ot funksiyasini F( x) = P ( ^ < x) deb olsak, u holda u o ‘ngdan uzluksizlik xos­ sasiga ega boMar edi.

Ammo, yuqoridagidek tanlangan F(x) o‘ngd.an uzluksiz boMa olmaydi, chunki uzluksizlik aksiomasiga ko'ra