“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

9-Занятие. Моменты высокого порядка. Коэффициент корреляции и свойства
Начальный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: .
Центральный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:
.
Очевидно, что если k=1, то .
Центральные моменты выражаются через начальные моменты по следующим формулам:





Решение типовых примеров:


Пример 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения:

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.
Решение: Согласно определениям математического ожидания и дисперсии имеем:
.

И, наконец,
Ответ:


Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Определить начальный и центральные моменты третьего порядка случайной величины Х.
Решение: Найдем дифференциальную функцию Х:

Согласно определению математического ожидания имеем:

Начальный момент третьего порядка находим по формуле :

И, наконец, центральный момент третьего порядка равен:

Ответ: ; .
Пример 3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией в интервале ; вне этого интервала . Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно дифференциальной функции Y) .
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента:

Интегрируя по частям, окончательно получим
. Ответ: .
Пример 4. Случайная величина X задана дифференциальной функцией в интервале ; вне этого интервала . Найти: а) моду; б) медиану величины Х.
Решение: а) легко убедиться, что функция в интервале не имеет максимума, поэтому Х моды не имеет.

б) Найдем медиану М_е Х , исходя из определения: . Учитывая, что по условию возможные значения Х положительны, перепишем это равенство так, или . Отсюда . Следовательно, искомая медиана равна .