“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Решение типовых примеров:


Пример 1. Пусть дискретная величина  имеет ряд распределения:

i	/4	/2	3/4	
p i	0,2	0,4	0,3	0,1

Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Случайная величина принимает значения , где с вероятностями p _i . Следовательно ее закон распределения

i		1		0
p i	0,2	0,4	0,3	0,1

Так как функция на отрезке не монотонна и ее значения в точках равны, то, в этом случае столбцы с равными значениями объединим в один столбец, а соответствующие вероятности сложим. Тем самым закон распределения имеет следующий вид:

i	0	1
p i	0,1	0,4	0,5

Пример 2. Задана - плотность распределения случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале (а;b). Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. Так как функция дифференцируема и строго возрастает, то применима формула:
.
Найдем функцию , обратную к : .
Найдем : .
Найдем производную функции : .
Подставляя полученные результаты в формулу: , найдем искомую плотность распределения: .
Пример 3. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение: Найдем дифференциальную функцию f_X(x) случайной величины Х: в интервале мы имеем:
;
и вне этого интервала f(x)=0.
В нашем примере . Найдем из уравнения обратную функцию . Так как в интервале функция не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы и , в которых эта функция монотонна. В интервале обратная функция ; в интервале обратная функция . Искомая плотность распределения может быть найдена по равенству:
.

Найдем производные обратных функций :

Найдем модули производных:

Учитывая, что , получим , . Откуда искомая плотность равна:

Так как , причем , то -1 < y < 1. Таким образом, в интервале (-1;1) искомая плотность вероятностей равна , вне этого интервала .