Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

ta o’zgarmas son bilan chegaralangan, ya’ni
D(ξ
1
) ≤ C, D(ξ
2
) ≤ C, D(ξ
3
) ≤ C, ..., D(ξ
n
) ≤ C, ...
bo’lsa, u holda ihtiyoriy ε > 0 son uchun
lim
n→∞
P {|
1
n
n
X
k=1
ξ
k
−
1
n
n
X
k=1
M(ξ
k
)| < ε} = 1
bo’ladi.
C Ushbu
1
n
n
X
k=1
ξ
k
=
ξ
1
+ ξ
2
+ ... + ξ
n
n
= η
belgilashni kiritamiz. Unda η tasodofiy miqdorning matematik
kutilishi
M(η) =
M(ξ
1
) + M(ξ
2
) + ... + M(ξ
n
)
n
=
1
n
n
X
k=1
M(ξ
k
)
bo’ladi.
88

η tasodifiy miqdorga (3) Chebishev tengsizligini qo’llab,
P {|η − M(η)| < ε} ≥ 1 −
D(η)
ε
2
(4)
tengsizlikka ega bo’lamiz.
Tasodifiy miqdor dispersiyasining xossasi va teoremaning
shartiga ko’ra
D(η) = D(
ξ
1
+ ξ
2
+ ... + ξ
n
n
) =
1
n
2
(D(ξ
1
)+D(ξ
2
)+...+D(ξ
n
)) ≤
≤
1
n
2
(C + C + ... + C) =
1
n
2
n · C =
C
n
(5)
bo’ladi. (4)va (5) munosabatlaridan
P {|η − M(η)| < ε} ≥ 1 −
C
ε
2
n
kelib chiqadi. Ma’lumki, hodisaning ehtimoli hech qachon 1
dan katta bo’lmaydi. Demak,
1 −
C
ε
2
n
≤ P {|η − M(η)| < ε} ≤ 1.
Bu tengsizlikda n → ∞ da limitga o’tib quyidagini topamiz:
lim
n→∞
P {|η − M(η)| < ε} = 1.
Demak,
lim
n→∞
P {|
1
n
n
X
k=1
ξ
k
−
1
n
n
X
k=1
M(ξ
k
| < ε} = 1.B
89

Malumki, muqqarar hodisaning ehtimoli 1 ga teng bo’ladi.
Isbot etilgan teorema n ning yetarlicha katta qiymatlarida
|
1
n
n
X
k=1
ξ
k
−
1
n
n
X
k=1
M(ξ
k
| < ε
(6)
tengsizlikning o’rinli bo’lish ehtimoli 1 ga yaqin, ya’ni (6) de-
yarli muqarrar hodisa bo’lishini ifodalaydi. Bu hol ushbu
1
n
n
X
k=1
ξ
k
≈
1
n
n
X
k=1
M(ξ
k
)
taqribiy formulaga olib keladi.
Demak, o’rganilayotgan ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
tasodifiy miqdorlarning
o’rta arifmetigi (u ham tasodifiy miqdor bo’ladi) deyarli o’zgar-
mas miqdorga (ya’ni tasodifiy miqdorlar o’rta qiymatlarining
o’rta arifmetigiga) teng bo’lar ekan.
Mashqlar.
1. Agar ξ tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(ξ) = 0, 004
bo’lsa, {|ξ − M(ξ)| ≤ 0, 2} hodisaning ehtimoli topilsin.
2. Agar ξ tasodifiy miqdorning disperiyasi D(ξ) = 0, 009
bo’lib,
P {|ξ − M(ξ)| ≥ ε} < 0, 1
bo’lsa, ε topilsin.
3. Agar ξ tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(ξ) = 0, 01
bo’lib,
P {|ξ − M(ξ)| < ε} > 0, 96
90

bo’lsa, ε topilsin.
4. Agar D(ξ) = 0, 016 bo’lsa, Chebishev tengsizligidan
foydalanib {|ξ − M(ξ)| ≤ 0, 1} hodisaning ehtimoli topilsin.
5. ξ diskret tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni bilan
berilgan:
ξ 0,1 0,4
p 0,4 0,6
.
Chebishev tengsizligidan foydalanib, {|ξ − M(ξ)| ≤ 0, 1}
hodisaning ehtimolini baholang.
6. Agar ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, ..., ξ
n
–o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy
miqdorlar bo’lib, M(ξ
i
) = a, i = 1, 2, ..., n bo’lsa, ixtiyoriy
musbat ε son uchun
lim
n→∞
P ( |
ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
+ ... + ξ
n
n
− a |< ε) = 1
tenglikni isbotlang.
7. Agar ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, ..., ξ
n
–o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy
miqdorlar bo’lib, P {ξ
i
= i
α
} =
1
2
, i = 1, 2, ..., n bo’lsa, α <
1
2
da ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, ..., ξ
n
, ... tasodifiy miqdorlar ketma-ketligiga katta
sonlar qonunini qo’llash mumkinligini ko’rsating.
91

5-bob
Matematik statistika ekementlari
Ma’lumki, ehtimollar nazariyasida tasodifiy hodisalr (tasodifiy
miqdorlar),ularning o’zgarishi qonunyatlari o’rganiladi. Bun-
da tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlarini bo’lishi yoki
ularni topish bilan tasodifiy miqdorlar haqida to’la ma’lumotga
ega bo’linadi. Bular nazariy ma’lumotlardir.
Tasodifiy holatlarga bog’liq bo’lgan amaliy masalalarni hal
etishda esa boshqacharoq yo’l tutiladi. Bu yo’l tasodifiy hodisa-
larni tajriba yoki sinov o’tkazilishi yordamida o’rganishdan
iboratdir. Bunda tajriba yoki sinov natijalaridan foydalnib,
tasodifiy hodisalarning ehtimollari, tasodifiy miqdorlar va ular-
ning matematik kutilishi, dispersiyasi, taqsimot qonunlari, taqsi-
mot funksiyasi, ehtimol zichliklari topiladi.
Tajriba natijalari kuzatish va hisoblash yordamida yuza-
ga keladi. Kuzatish va hisoblashlarda turli sabablarga ko’ra
xatoliklarga yo’l qo’yiladi. Demak, yuqorida keltirilgan taso-
difiy miqdor larning barcha xarakteristikalari taqriban topiladi.
Ayni paytda, bu xatoliklarni ham baholash lozim bo’ladi.
Matematik statistika ( u ehtimollar nazariyasi bilan uzviy
bog’langan) oliy matematikaning bo’limlaridan bo’lib, unda
tajriba, sinov natujasida olingan ma’lumotlarga asoslangan hol-
da ilmiy va ommaviy xulosalar chiqarishning matematik usullari
bayon etiladi.
92

1
◦
. Tanlanma usul
Odatda, korxonalarda ishlab chiqarilgan mahsulotlarning
yaroqligini sifat bo’yicha (masalan, detallarningstandartga mos
kelishi yoki kelmasligi), ham son belgilari (masalan, detallarn-
ing o’lchamlari) bo’yicha tekshiriladi.
Aslida ishlab chiqarilgan mahsulotlarning barchasini birma-
bir tekshirish maqsadga muvofiq bo’lsada, mahsulotlar sonin-
ing katta son bo’lishi va boshqa sabablar bu tekshirish usuli
noqulay, katta qiyinchilik tug’diradi.
Ishlab chiqarilgan mahsulotlarni umumiyroq qilib tekshiri-
ladigan (o’rganiladigan)ob’yektlar deb, bu ob’yektlarning bar-
chasidan tashkil topgan to’plamni qaraymiz. Bu bosh to’plam
deyiladi. Bosh to’plam elementlarining soni shu to’plamning
hajmi deyiladi va u N xarfi bilan belgilanadi.
Bosh to’plamdan tavakkal qilib chekli sondagi ob’yektlar oli-
nadi. Tanlab olingan ob’yektlardan tuzilgan to’plam tanlanma
to’plam, qisqacha tanlanma deyiladi. Tanlanma to’plam ele-
mentlarning soni shu to’plamning hajmi deyilib, n harifi bilan
belgilanadi.
Masalan, korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlarning bar-
chasi 125000 bo’lib, ulardan tekshirish uchun 200 tasi tanlan-
gan bo’lsa, unda bosh to’plamning hajmi N = 125000 bo’lib,
tanlanma to’plamning hajmi n = 200 bo’ladi.
Bu tushinchalardan foydalanib, asosiy masala va uni yechish
93

usulini keltiramiz.
Masala, bosh to’plam ob’yektlarini ham sifat, ham son ko’rsat-
kichlar bo’yicha tekshirish, ularning yaroqlilik darajasini aniqlash,
kerakli hulosalar chiqarish, yaroqsizlik darajasi yuqoriroq bo’lgan-
da ishlab chiqarish jarayonini takomillashtirish, kerakli tavsiyalar
berishdan iborat.
Bu masalani yechish yollaridan birini bayon etamiz.
Bosh to’plamdan (ravshanki, uning hajmi katta bo’ladi)
tanlanma to’plamni (uning hajmi kichik bo’ladi) ajratib oli-
nadi. Tanlanma to’plam obyektlarini tekshirilib, bosh to’plam
ob’yekt-lari to’g’risida xulosalar chiqariladi. Odatda, bunday
usul tanlanma usul deyiladi.
Bosh to’plamdan ajratiladigan tanlanma ikki usulda bajari-
ladi:
1) bosh to’plamdan tekshirish uchun navbatma-navbat ob’yekt
olinadi, u o’rganilib bosh to’plamga qaytariladi. So’ng keyingi
ob’yekt olinadi va jarayon davom ettirilib, tanlanma hosil qili-
nadi. Bu takror tanlanma deyiladi. Takror tanlanmada bitta
ob’yekt bosh to’plamdan bir necha bor olinishi mumkin;
2) bosh to’plamdan tekshirish uchun olingan ob’yekt o’rganilib,
u bo’sh to’plamga qaytarilmaydi. Shu usulda tuzilgan tanlan-
ma takrormas tanlanma deyiladi. Bu holda olingan ob’yekt
bir martagina tekshiriladi.
Bosh to’plamni o’rganishda ko’pincha takrormas tanlanmadan
94

foydalaniladi.
Shuni ta’kidlash lozimki, bosh to’plamdan ob’yektlarni olib,
tanlanma to’plam hosil qilishda ma’lum shart bajarilishi ta-
lab etiladi. U ham bo’lsa, bosh to’plam ob’yektlarining bar-
cha xususiyatlari tanlanma to’plamda etarli darajada o’z aksini
topishi lozim.
2
◦
. Empirik taqsimot funksiyasi
Amaliyotda, ko’pincha qaralayotgan tasodifiy miqdor ξ ning
taqsimot funksiyasi no’ma’lum bo’lib, uni kuzatish natijalariga
ko’ra, ya’ni tanlanmaga ko’ra topiladi.
Bosh to’plamdan ajratib olingan tanlanmaning hajmi n ga
teng bo’lib, ular
x
1
, x
2
, ..., x
n
(1)
bo’lsin. Ixtiyoriy x sonni olib, (1) tanlanmaning tanlangan
x
k
(k = 1, 2, ..., n) qiymatlaridan ushbu
x
k
< x
tengsizlikni qanoatlantiradiganlarining sonini ν
k
deylik. Unda
ν
k
n
(2)
nisbat olingan tanlanmada tanlangan qiymatlarining x nuq-
tadan chap tomomnga tushish chastotasini ifodalaydi. Boshqacha
qilib aytganda, (2) nisbat {ξ < x} hodisaning chastotasi bo’ladi.
95

Ravshanki, u x ga bog’liq bo’lib, x ning funksiyasi bo’ladi.
Bu funksiya olingan tanlanma bo’yicha ξ tasodifiy miqdorning
empirik taqsimot funksiyasi deyiladi va F
n
(x) kabi belgilanadi.
Demak,
F
n
(x) =
ν
k
n
.
(3)
Ma’lumki, ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F (x),
ushbu {ξ < x} hodisa (tajriba natijasida tasodifiy miqdor ξ
ning x dan kichik bo’ladigan qiymatlarni qabul qilishi hodisasi)
ehtimolidan iborat edi:
F (x) = P {ξ < x}.
Bu F (x) funksiya ξ tasodifiy miqdorning nazariy taqsimot
funksiyasi ham deb yuritiladi.
ξ tasodifiy miqdorning empirik taqsimot funksiyasi F
n
(x)
esa n ta tajribada shu hodisaning chastotasini ifodalaydi.
Tasodifiy miqdorning empirik taqsimot funksiyasi F
n
(x) ham
uning taqsimot funksiyasi F (x) xossalari kabi xossalarga ega.
Ayni paytda, n ning katta qiymatlarida Bernulli teoremasi-
ga ko’ra hodisa chastotasi uning ehtimoliga taxminan teng
bo’lishidan ushbu
F (x) ≈ F
n
(x) =
ν
k
n
taqribiy formula kelib chiqadi.
96

Demak, tanlanma hajmi kattaroq bo’lgan sari empirik taqsi-
mot funksiya nazariy taqsimot funksiyani aniqroq ifodalab bo-
rar ekan.
Misol. Tanlanma natijasida ushbu
−3, 2, −1, −3, 5, −3, 2
sonlar hosil qilingan. Empirik taqsimot funksiya topilsin, uni-
ng grafigi chizilsin.
C Ravshanki, bu misolda tanlanmaning hajmi n = 7 bo’lib,
x
1
= x
4
= x
6
= −3, x
2
= x
7
= 2, x
3
= −1, x
5
= 5
bo’ladi. Shuni e’tiborga olib topamiz:
ν
x
=

















0, agar x ≤ −3;
3, agar −3 < x ≤ −1;
4, agar −1 < x ≤ 2;
6, agar 2 < x ≤ 5;
7, agar x > 5.
Unda empirik taqsimot funksiya ushbu
F
n
(x) =
ν
k
n
97

formulaga ko’ra
F
n
(x) =

















0, agar x ≤ −3;
3
7
, agar −3 < x ≤ −1;
4
7
, agar −1 < x ≤ 2;
6
7
, agar 2 < x ≤ 5;
1, agar x > 5
bo’ladi. Bu funksiyaning grafigi 5 -chizmada tasvirlangan.
-
x
6
-3
0
-1
1
2
5
F
n
(x)
5-chizma
Keltirilgan 5-chizmaning tasviridan foydalanib quydagilarni
aytish mumkin:
1) empirik taqsimot funksiya zinasimon, uzilishga ega bo’lgan
funksiya bo’ladi;
2) bu funksiyaning uzilishi tanlanma qiymatlarini ifodalovchi
nuqtalarda sodir bo’ladi. Bu nuqtalarda funksiyaning sakrashi
1
7
ga (umumiy holda
1
n
ga) karrali bo’ladi;
3) ravshanki, x
1
, x
2
, ..., x
7
larning kichigi x
min
= −3, kat-
tasi x
max
= 5 bo’lib, empirik taqsimot funksiya x < x
min
98

bo’lganda F
n
(x) = 0, x > x
max
bo’lganda esa F
n
(x) = 1
bo’ladi. B
Shuni aytish kerakki, (1) tanlanmaga ko’ra empirik taqsimot
funksiya tanlanma qiymatlarini qanday tartibda joylashishi-
ga bog’liq bo’lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, faqat joy-
lashishi tartibi bilan farqlanuvchi barcha tanlanmalarning em-
pirik taqsimot funksiyasi bitta bo’ladi.
3
◦
. Poligon va gistogramma
Tanlanma bo’yicha tasodifiy miqdor haqida to’laroq tasavvur-
ga ega bo’lishda tanlanmaning (tanlanma taqsimotining) poligon
va gistogrammalaridan foydalaniladi.
Aytaylik, hajmi n ga teng tanlanma
x
1
, x
2
, ..., x
n
da x
1
qiymat n
1
marta, x
2
qiymat n
2
marta va hokazo, x
k
qiymat n
k
marta kuzatilgan bo’lsin. Bu holda tanlanmaning
chastotalari n
k
lar uchun n
1
+ n
2
+ ... + n
k
= n bo’ladi.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini olib, unda ko-
ordinatalari x
k
va n
k
bo’lgan (x
k
; n
k
) nuqtalarini belgilaymiz.
Bu nuqtalarni to’g’ri chiziq kesmalari yordamida birlashtir-
sak, siniq chiziq hosil bo’ladi. Uni tanlanmaning (tanlanma
taqsimotining) chastotalar poligoni deyiladi.
Chastotalar poligonida (grafik) tanlanmaning har bir qiy-
matini qanchalik tez-tez kuzatilishi tushuntiriladi.
99

Misol. Yuqorida keltirilgan
−3, 2, −1, −3, 5, −3, 2
tanlanma uchun chastotalar polidoni chizilsin.
C Bu tanlanmaning -3 qiymatlarining chastotasi 3; -1 qiy-
matlarining chastotasi 1; 2 qiymatlarining chastotasi 2 va 5
qiymatlarining chastotasi 1 ga teng. Bulardan foydalanib
(−3; 3), (−1; 1), (2; 2), (5, 1)
nuqtalarni hosil qilindi. Bu nuqtalarni to’g’ri chiziq yordamida
birlashtrishdan hosil bo’lgan siniq chiziq berilgan to’planmaning
chastotalar poligoni bo’ladi (6-chizma).B
-
x
6
H
H
H
H
H
H
H
H
H
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³PPP
PPP
PPP
PPP
-3
-1
0
2
5
y
6-chizma
100

Tasodifiy miqdor haqida batafsilroq tasavvurga ega bo’lishda
tanlanmaning (tanlanma taqsimotining) chastotalar gistogram-
masidan foydalaniladi.
Aytaylik,
x
1
, x
2
, ..., x
n
kuzatilgan qiymatlarning kichigini x
min
, kattasini x
max
deb,
ushbu
[x
min
; x
max
]
oraliqni qaraymiz. Bu oraliqni uzunligi h ga teng bo’lgan bir
qancha J
m
oraliqlarga ajratilib, har bir oraliqqa kuzatilgan
qiymatlarning nechtasi tushganligi hisoblanadi.
Aytaylik, J
m
oraliqqa kuzatilgan qiymatlardan ν
m
tasi tush-
gan bo’lsin. Unda asosi J
m
oraliqdan iborat bo’lgan, ba-
landligi
ν
m
h
ga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchak yasaladi. Hosil
bo’lgan chizma tanlanmaning (tanlanma taqsimotining) chas-
totalar gistogrammasi deyiladi. Bunday yasalgan to’g’ri to’rtbur-
chakning yuzi
h ·
ν
m
h
= ν
m
bo’ladi. Demak, to’g’ri to’rtburchakning yuzi J
m
oraliqda-
gi kuzatilgan qiymatlar soniga teng bo’ladi. Barcha to’g’ri
to’rtburchaklardan tashkil topgan ko’pburchakning yuzi esa
barcha kuzatilgan qiymatlar soniga, ya’ni tanlanma hajmiga
teng bo’ladi.
101

Misol. Kuzatish natijasida quyidagi qiymatlar va ularning
chastotalari aniqlangan:
qiymatlar -2 0 1 2 3 5 7
chastotalar 4 5 7 8 6 2 1
Bu taqsimotning gistogrammasi yasalsin.
C Ravshanki, kuzatilgan qiymatlarning eng kattasi
x
max
= 7, eng kichigi x
min
= −2 bo’lib,
[x
min
; x
max
] = [−2; 7]
oraliqning uzunligi 9 ga teng. Bu oraliqni 4 ta qismga ajratamiz:
[−2; 0, 25], [0, 25; 2, 5], [2, 5; 4, 75], [4, 75; 7]
1) [-2;0,25] oraliqqa 9 ta kuzatilgan qiymatlar tushadi (ular:
-2 qiymat 4 marta, 0 qiymat 5 marta);
2) [0,25;2,5] oraliqqa 15 ta kuzatilgan qiymatlar tushadi
(ular: 1 qiymat 7 marta, 2 qiymat 8 marta);
3) [2,5;4,75] oraliqqa 6 ta kuzatilgan qiymatlar tushadi (ular:
3 qiymat 6 marta);
4) [4,75;7] oraliqqa 3 ta kuzatilgan qiymatlar tushadi (ular:
5 qiymat 2 marta, 7 qiymat 1 marta).
Gistogrammani yasash uchun yuqorida keltirilgan ma’lumot-
102

lardan foydalanib quyidagi jadvalni tuzamiz:
oraliq [-2;0,25] [0,25;2,5] [2,5;4,75] [4,75;7]
ν
n
9
15
6
3
ν
n
n
4
20
3
8
9
4
3
Izlanayotgan gistogramma ushbu ko’rinishda bo’ladi:
-
x
6
-2
0
2.25
4.75 7
y
7-chizma
Yuqorida keltirilgan [x
min
; x
max
] oraliq uzunligi h ga teng
bo’lakchalarga turlicha (masalan, [α−
h
2
; α+
h
2
] usulda) ajratili-
shi mumkin. Shuni aytish kerakki, gistogrammaning ko’rinishi
h ning uzunligini tanlashga ham bog’liq bo’ladi.
4
◦
. Empirik o’rta qiymat va empirik dispersiya
Tasodifiy miqdor ξ ning matematik kutilishi (o’rta qiymat)
va dispersiya uchun kuzatishlar natijasida hosil bo’lgan qiy-
matlar bo’yicha taqribiy formulalarni keltiramiz. Chunki n ni
har qanday qilib olganda ham tanlanma bo’yicha tasodifiy miq-
dorning o’rta qiymatini va dispersiyasini, umuman aytganda,
aniq topib bo’lmaydi.
103

Aytaylik, ξ tasodifiy miqdorni kuzatish natijasida
x
1
, x
2
, ..., x
n
qiymatlar hosil bo’lsin. Ravshanki, bu qiymatlar ham tasodifiy
miqdor bo’ladi.
Ushbu
x =
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
n
=
1
n
n
X
k=1
x
k
miqdor empirik o’rta qiymat (empirik matematik kutilish yo-
ki tanlanma bo’yicha o’rta qiymat) deyiladi. Uni