Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

P (B) =
l
k
bo’lsin. Ravshanki, barcha n·k ta elementar hodisalardan m·l
tasi AB hodisaning sodir bo’lishiga qulaylik tug’diradi. Unda
ta’rifga ko’ra
P (AB) =
m·l
n·k
bo’ladi. Keyingi tenglikdagi P (A · B) =
m
n
·
l
k
= P (A) · P (B)
bo’lishi kelib chiqadi.B
Faraz qilaylik, A va B bog’liq hodisalar bo’lsin.
16

11-ta’rif. A hodisani sodir bo’lgan deb,topilgan B hodi-
saning ehtimoli shartli ehtimol deyiladi. Uni P
A
(B) kabi
yoziladi.
Misol. Kubikni tashlash tajribasini qaraylik. Agar kubik
tashlanganda juft raqamli tomoni tushganligi ma’lum bolsa,
tub raqamli tomonini tushish ehtimoli topilsin.
C A- kubikning juft raqamli tomonini tushishi hodisasi, B
esa juft raqamli tomoning tub raqamli tomoni bo’lish hodi-
sasi deylik. Ravshanki, A hodisaning sodir bo’lishiga qulay-
lik tug’diruvchi elementar hodisalar E
2
, E
4
, E
6
bo’lib, ular-
dan faqat bitta E
2
gina B hodisaning sodir bo’lishiga qulaylik
tug’diradi. Demak,
P
A
(B) =
1
3
bo’ladi.B
4-teorema. A va B bog’liq hodisalar ko’paytmasining
ehtimoli uchun
P (A · B) = P (A) · P
A
(B)
(5)
bo’ladi.
C Aytaylik, barcha n ta elementar hodisalardan m tasi A
hodisaning sodir bo’lishiga qulaylik tug’dirib, bu m ta elemen-
tar hodisalardan k tasi B hodisaning sodir bo’lishiga qulaylik
tug’dirsin. Ravshanki, A·B hodisaga k ta elementar hodisalar
qulaylik tug’diradi. Hodisa ehtimoli ta’rifidan foydalanib,
17

P (A · B) =
k
n
tenglikni topamiz.
Ayni paytda
P (A) =
m
n
, P
A
(B) =
k
m
bo’ladi.
Keyingi tengliklardan
P (A · B) =
k
n
=
m
n
·
k
m
= P (A) · P
A
(B)
bo’lishi kelib chiqadi.B
Misol. Korhonada ishlab chiqarilgan mahsulotning 96 foizi
yaroqli bo’lib, yaroqli mahsulotning 100 tasidan 75 tasi birinchi
navli. Korhonada ishlab chiqarilgan yaroqli mahsulotning bir-
inchi navli bo’lishi ehtimoli topilsin.
C Ishlab chiqarilgan mahsulotning yaroqli bo’lish hodisasini
A, ulardan birinchi navli bo’lish hodisasini esa B deylik.
Masalaning shartiga ko’ra bu hodisalarning ehtimollari
P (A) = 0, 96,P
A
(B) = 0, 75
bo’ladi. Unda izlanayotgan hodisaning ehtimoli (5) formulaga
binoan
P (A · B) = 0, 96 · 0, 75 = 0, 72
ga teng bo’ladi.B
18

7
◦
. To’la ehtimol formulasi
Faraz qilaylik,
H
1
, H
2
, ..., H
n
(6)
hodisalar:
1) o’zaro bir-biri bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib,
2) ular hodisalarning to’la gruppasini tashkil etsin.
Aytaylik, A hodisasi (6) hodisalarning bittasi va faqat bit-
tasi sodir bo’lganda sodir bo’lsin.
Odatda, H
1
, H
2
, ..., H
n
lar A hodisaning gipotezalari deyi-
ladi.
5-teorema. A hodisaning ehtimoli
P (A) = P (H
1
)P
H
1
(A) + ... + P (H
n
)P
H
n
(A)
(7)
bo’ladi.
C A hodisa H
1
, H
2
, ..., H
n
hodisalarning bittasi va faqat
bittasi sodir bo’lgandagina sodir bo’lgani uchun
A = H
1
· A + H
2
· A + ... + H
n
· A.
Modomiki, H
1
, H
2
, ..., H
n
lar o’zaro birgalikda bo’lmagan hodis-
alar ekan, unda
H
1
· A, H
2
· A, ..., H
n
· A
hodisalar ham o’zaro birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’ladi.
Ehtimollarning qo’shish va ko’paytirish teoremalaridan foy-
dalanib,
19

P (A) = P (H
1
· A) + P (H
2
· A) + ... + P (H
n
· A) =
P (H
1
) · P
H
1
(A) + P (H
2
) · P
H
2
(A) + ... + P (H
n
) · P
H
n
(A)
formulani topamiz.B
(7) formula to’la ehtimol formulasi deyiladi.
Misol. Do’konga sotish uchun keltirilgan elektr lampochka-
lari uchta zavodda tayorlangan bo’lib, ularning 20 foizi birinchi
zavodda, 30 foizi ikkinchi zavodda, 50 foizi esa uchinchi zavod-
da tayorlangan. Birinchi zavodda tayorlangan lampochkalar-
ning yaroqsiz bo’lishi ehtimoli 0,01 , ikkinchi zavoddagisi uchun
0,005, uchinchi zavoddagisi uchun esa 0,006 ga teng.
Do’kondan tavakkaliga olingan lampochkani yaroqsiz bo’lishi
ehtimoli topilsin.
C Lampochkalarning birinchi zavodda tayyorlangan bo’lishi
hodisasini H
1
, ikkinchi zavodda tayyorlangan bo’lishi hodisa-
sini H
2
, uchinchi zavodda tayyorlangan bo’lishi hodisasini H
3
,
hamda do’kondan tavakkaliga olingan lampochkani yaroqsiz
chiqish hodisasini A deylik.
Masalaning shartiga ko’ra H
1
, H
2
, H
3
o’zaro birgalikda bo’l-
magan hodisalar bo’lib,
P (H
1
) = 0, 2, P (H
2
) = 0, 3, P (H
3
) = 0, 5.
Ayni paytda
P
H
1
(A) = 0, 01, P
H
2
(A) = 0, 005, P
H
3
(A) = 0, 006
bo’lishini topamiz. Unda to’la ehtimol formulasi (7) ga ko’ra
20

P (A) = 0, 001 · 0, 2 + 0, 005 · 0, 3 + 0, 006 · 0, 5 = 0, 0065.B
8
◦
. Beyes formulasi
Aytaylik
H
1
, H
2
, ..., H
n
hodisalar o’zaro birgalikda bo’lmagan gipotezalarning to’la grup-
pasidan iborat bo’lib, tajribani o’tkazishga qadar ehtimollari
P (H
i
)(i = 1, 2, ..., n) ma’lum bo’lsin.
Tajriba natijasida A hodisani sodir bo’ldi degan shartda
tajribadan so’ng H
i
(i = 1, 2, ..., n) hodisalarning ehtimollarini
topish masalasini qaraylik. Ravshanki, bu masala
P
A
(H
i
)(i = 1, 2, ..., n)
ehtimolni topish bilan hal etiladi.
Ehtimollarni ko’paytirish teoremasiga ko’ra
P (A · H
i
) = P (A) · P
A
(H
i
) = P (H
i
) · P
H
i
(A)
bo’lib, undan
P
A
(H
i
) =
P (H
i
)·P
Hi
(A)
P (A)
(i = 1, 2, ..., n)
kelib chiqadi.
To’la ehtimol formulasidan foydalanib,
21

P
A
(H
i
) =
P (H
i
) · P
H
i
(A)
n
P
k=1
P (H
k
) · P
H
k
(A)
(i = 1, 2, ..., n)
(8)
formulani topamiz.
(8) formula Beyes formulasi deyiladi.
Misol. Uchta guruh ishchilar tomonidan bir partiya (to’p-
lam) mahsulot tayyorlangan bo’lib, ularning 25 foizini birinchi
guruh ishchilari, 35 foizini ikkinchi guruh ishchilari, 40 foizi-
ni uchunchi guruh ishchilari tayyorlagan. Birinchi guruh tay-
yorlagan mahsulotlarning 5 foizi, ikkinchi guruh tayyorlagan
mahsulotlarning 4 foizi va uchinchi guruh tayyorlagan mahsu-
lotlarning 2 foizi yaroqsiz. Sinash uchun tavakkal qilib olingan
bir mahsulot yaroqsiz bo’lib chiqdi. Shu mahsulotni ikkinchi
guruh ishchilari tomonidan tayyorlanganligi ehtimoli topilsin.
C Aytaylik, A-sinash uchun olingan mahsulotning yaroqsiz
bo’lib chiqish hodisasi, H
1
, H
2
, H
3
lar esa mahsulotni mos ra-
vishda birinchi, ikkinchi va uchinchi guruh tomonidan tayyor-
langanligi hodisalari bo’lsin. U holda,
P (H
1
) = 0, 25, P (H
2
) = 0, 35, P (H
3
) = 0, 40
va
P
H
1
(A) = 0, 05, P
H
2
(A) = 0, 04, P
H
3
(A) = 0, 02
bo’ladi. (8) beyes formulasi foydalanib, quyidagini topamiz:
22

P
A
(H
i
) =
0,35·0,04
0,25·0,005+0,35·0,04+0,40·0,02
=
28
69
.B
Mashqlar.
1. Tangani 4 marta tashlash tajribasida yuzaga keladigan
elementar hodisalar yozilsin.
2. Kubikni tashlash tajribasida A hodisasi uning toq sonda-
gi raqamli tomonini tushishini ifodalasa, A hodisani sodir bo’li-
shiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar yozilsin.
3. Tangani bir marta tashlash tajribasida A-gerbli tomoni-
ni tushishi, B esa raqamli tomonini tushishi hodisasi bo’lsa,
A, A, B, B hodisalar qanday munosabatda bo’ladi?
4.Yuqoridagi 3-misolda keltirilgan A va B hodisalar uchun
A + B, A · B lar qanday hodisalar bo’ladi?
5.A va B hodisalar uchun A + B = A · B, A · B = A + B
tengliklar isbotlansin.
6. Yuqoridagi 3-misolda keltirilgan A va B hodisalarning
ehtimollari topilsin.
7. Yashikda bir hil o’lchamli 12 ta oq, 8 ta qora shar-
lar bor. Tavakkaliga olingan bitta sharning oq shar bo’lishi
hodisasining ehtimoli topilsin.
8. Tajriba ikkita o’yin kubikni tashlashdan iborat. Agar
tushgan kubiklardagi raqamlar yig’ndisi 7 ga teng bo’lishi A
hodisasi, 8 ga teng bo’lishi esa B hodisasi bo’lsa, A va B
hodisalarning ehtimollari topilsin.
23

9. Telefon qilayotgan abonent telefon nomerining ohirgi
raqamini esdan chiqarib, tavakkaliga bitta raqamni terdi. Tele-
fon nomeri to’g’ri terilganligi hodisasining ehtimoli qanday bo’-
ladi?
10. Baliqchining suv havzasidan baliq tutolmaslik ehtimoli
0,4 ga teng bo’lsa, uning baliq tutish ehtimoli nechaga teng
bo’ladi?
11. Ekilgan 50 tup ko’chatning 45 tupi ko’kargani ma’lum
bo’lsa, ekilgan ko’chatning ko’karish hodisasining nisbiy chas-
totasi topilsin.
12. Yashikda bir hil o’lchamdagi 20 ta oq, 30 ta qizil va
50 ta sariq rangli sharlar joylashgan. Yashikdan tavakkaliga
olingan bitta sharning rangli (oq bo’lmagan) bo’lishi ehtimoli
topilsin.
13. Kubikni bir marta tashlash tajribasida 3 raqamli yoki 5
raqamli tomonini tushishi ehtimoli topilsin.
14. Yozma ish uchun 4 ta variant (I,II,III.IV) tayyorlan-
gan. Talaba I- va III- variantlardan birini tushishini xohlaydi.
Talabaga o’zi xohlagan variantning tushishi ehtimoli topilsin.
15. Yashikda bir xil o’lchamli 3 ta oq va 3 ta qora shar-
lar bor. Yashikdan tavakkaliga bittadan birin-ketin ikki mar-
ta (yashikka qaytarmasdan) shar olingan. Agar birinchi gal-
da olingan shar qora ekanligi ma’lum bo’lsa, ikkinchi marta
olingan sharning oq bo’lishi ehtimoli topilsin.
24

16. Urug’ning unib chiqish ehtimoli 0,7 ga teng. Ikkita
ekilgan urug’dan bittasining unib chiqishi ehtimoli topilsin.
17. Birinchi qutidagi 20 ta radiolampadan 18 tasi yaroqli,
ikkinchi qutidagi 10 ta radiolampadan 9 tasi yaroqli. Tavakkali-
ga ikkinchi qutidan bitta radiolampani olib, uni birinchi qutiga
solingan. Birinchi qutidan tavakkaliga bitta olingan radiolam-
paning yaroqli bo’lishi ehtimoli topilsin.
18. Qutida 6 ta yangi va 2 ta ishlatilgan radiobatareyka bor.
Qutigan tavakkaliga olingan 2 ta batareykaning yangi bo’lishi
ehtimoli topilsin.
19. Uchta qog’ozchaga Z,U,T harflari yozilgan. Bu qog’ozcha-
larni aralashtirib, so’ng bittadan olib yonma-yon qo’yilgan.
TUZ so’zi hosil bo’lish ehtimoli topilsin.
20. Do’konga uchta fabrikadan mahsulot keltirilgan. Bir-
inchi fabrikaning mahsuloti 20 foizni, ikkinchi fabrikaning mah-
suloti 46 foizni, uchinchi fabrikaning mahsuloti 34 foizni tash-
kil etadi. Birinchi fabrikaning 3 foiz mahsuloti, ikkinchi fab-
rikaning 2 foiz mahsuloti, uchunchi fabrikaning 1 foiz mahsu-
loti yaroqsiz. Do’kondan tavakkaliga olingan mahsulot yaroq-
siz bo’lganini bilgan holda u birinchi fabrikaning mahsuloti
bo’lishi ehtimoli topilsin.
25

2-bob
O’zaro bog’liq bo’lmagan tajribalar ketma-ketligi
1
◦
. Kombinatorika tushunchlari
Faraz qilaylik, n ta elementdan iborat biror to’plam beril-
gan bo’lsin. Odatda, bu to’plam elementlaridan tuzilgan tuzil-
malar bir-biridan yo tartibi, yoki o’zi bilan farq qiluvchi gu-
ruhlar birlashmalar deyiladi. Birlashmalar uch hil bo’ladi:
1) o’rinlashtirishlar;
2) o’rin almashtirishlar;
3) gruppalashlar(kombinatsiya).
1-ta’rif. Agar n ta elementdan m tadan qilib tuzil-
gan birlashmalarda, ular bir-birlarining yo elementlari bi-
lan,yoki elementlarining tartibi bilan farq qilsa, uni n ele-
mentdan m tadan olingan o’rinlashtirishlar deyiladi va A
m
n
kabi yoziladi.
Masalan, uchta a, b, c elementdan ikkitadan qilib quyidagi
ab, ac, bc, ba, ca, cb o’rinlashtirishlar tuzish mumkin.
n ta elementdan m tadan olingan o’rinlashtirishlar soni ush-
bu
A
m
n
= n(n − 1)(n − 2) · · · (n − m + 1)
(1)
formula yordamida topiladi.
26

Misol. Auditoriyada 10 ta fandan dars bo’lib, har kuni 5 xil
dars o’tiladi. Bir kunlik dars necha xil usul bilan taqsimlanishi
mumkin?
C Masala o’rinlashtirishlar sonini aniqlash bilan yechiladi.
(1) formuladan foydalanib,
A
5
10
= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30240
ni topamiz.B
2-ta’rif. Faqat elementlarining tartibi bilangina farq
qiladigan (bunda n = m bo’ladi) o’rinlashtirishlar o’rin
almashtirishlar deyiladi.
n ta elementdan tuzilgan o’rin almashtirishlar soni P
n
kabi
belgilanib, u ushbu
P
n
= n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 = n!
(2)
formula bilan topiladi.
Misol. Bir qator qilib 8 ta stul qo’yilgan. Unga 8 o’quvchini
necha hil usul bilan o’tqazish mumkin.
C Bu masala o’rin almashtirishlar sonini aniqlash bilan yechi-
ladi. (2) formuladan foydalanib
P
8
= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320
ni topamiz.B
27

3-ta’rif. n ta elemntdan m tadan tuzilgan o’rinlashtirish-
lardan bir-birigan eng kamida bitta elementi bilan farq qi-
ladigan o’rinlashtirishlarga n ta elemntdan m tadan tuzil-
gan gruppalash(kombinatsiya) deyiladi, uni C
m
n
kabi belgi-
lanadi.
n ta elemntdan m tadan tuzilgan gruppalash soni ushbu
C
m
n
=
n(n−1)(n−2)···(n−m+1)
1·2·3···m
=
n!
m!(n−m)!
formula bilan topiladi. Ravshanki,
C
m
n
=
A
m
n
P
m
bo’ladi.
Misol. Abonent telefon qilaturib, telefon nomerining ohir-
gi ikki raqamini(ularni turli raqam ekanligini bilar edi) es-
dan chiqardi. Tavakkal qilib ohirgi ikki raqam terildi. Tele-
fon nomeri to’g’ri terilganligi hodisasi (A hodisa)ning ehtimoli
topilsin.
C Ravshanki, telefon raqamining ohirgi ikki raqami A
2
10
ta
usul bilan terilishi mumkin. Ulardan faqat bittasigina to’g’ri
bo’ladi. Demak,
P (A) =
1
A
2
10
=
1
10·9
=
1
90
.
28

2
◦
. Bernulli sxemasi
Odatga, ma’lum shartlar bajarilishi natijasida ba’zi hodis-
alarning yuzaga kelishini tajriba deb tushuniladi.
Biror tajribalar ketma-ketligini qaraylik. Agar har bir tajri-
ba natijasining ehtimoli boshqa tajriba natijasining sodir bo’lma-
ganligi yoki bo’lishiga bog’liq bo’lmasa, bunday tajribalar ketma-
ketligi bog’liq bo’lmagan deyiladi.
Aytaylik, n ta tajriba o’tkazilgan bo’lib, ular o’zaro bog’liq
bo’lmagan tajribalar ketma- ketligini hosil qilsin. Har bir tajri-
bada A hodisaning sodir bo’lishi ehtimoli p ga teng bo’lsin.
Bunday tajribalar ketma-ketligi Bernulli sxemasi deyiladi.
Agar Bernulli sxemasida A hodisaning sodir bo’lmasligi (yani
A hodisaning sodir bo’lishi) ehtimolini q desak, unda q = 1−p
bo’ladi.
Bernulli sxemasida asosiy masala yuqoridagi n ta tajribada
A hodisaning k marta sodir bo’lishi hodisasining ehtimolini
topishdan iborat. Bu ehtimolni P
n
(k) bilan belgilaymiz.
Aytaylik, n ta tajribada A hodisasi biror marta ham sodir
bo’lmasin. Bu holda har bir tajribada A hodisasi sodir bo’lib,
A · A · A · · · A
|
{z
}
n−ta
hodisaga ega bo’lamiz. A · A · A · · · A
|
{z
}
n−ta
hodisaning ehtimoli
29

P (A · A · A · · · A)
|
{z
}
n−ta
= P (A) · P (A) · P (A) · · · P (A)
|
{z
}
n−ta
=
q · q · · · q
| {z }
n−ta
= q
n
boladi. Demak, n ta tajribada A hodisaning biror marta sodir
bo’lmasligi ehtimoli
P
n
(o) = q
n
bo’ladi.
Aytaylik, n ta tajribada A hodisasi faqat bir marta sodir
bo’lsin. Bu holda quyidagi n ta
A·A·A···A; A·A·A···A; A·A·A·A···A; ...; A·A···A·A
hodisalar hosil bo’lib, ularning har birining ehtimoli p · q
n−1
bo’ladi. Ehtimollarni qo’shish teoremasidan foydalanib,
P
n
(1) = P (A · A · A · · · A) + P (A · A · A · · · A) + P (A · A ·
AA · · · A) + ... + P (A · A · · · A · A) = n · p · q
n−1
ni topamiz.
Ma’lumki, C
1
n
= n. Demak, n ta tajribada A hodisaning
faqat bir marta sodir bo’lish ehtimoli
P
n
(1) = C
1
n
· p · q
n−1
bo’ladi.
Aytaylik, n ta tajribada A hodisasi faqat 2 marta sodir
bo’lsin. Bu holda C
2
n
=
n(n−1)
2
ta
30

A·A·A···A; A·A·A·A···A; A·A·A·A·A···A; ...; A·A···A·A
hodisalar hosil bo’lib, ularning har birining ehtimoli p
2
q
n−2
ga
teng bo’ladi. Ehtimollarni qo’shish teoremasidan foydalanib,
P
n
(2) = P (A · A · A · · · A) + P (A · A · A · A · · · A) + P (A ·
A · A · A · A · · · A) + ... + P (A · A · · · A · A) = C
2
n
· p
2
· q
n−2
ni topamiz. Demak, n ta tajribada A hodisani ikki marta sodir
bo’lish ehtimoli
P
n
(2) = C
2
n
· p
2
· q
n−2
bo’ladi.
Xuddi shunday mulohaza asosida n ta tajribada A hodisa-
ning k marta sodir bo’lish ehtimoli
P
n
(k) = C
k
n
· p
k
· q
n−k
(3)
bo’lishi ko’rsatiladi.
(3) formula Bernulli formulasi deyiladi.
Misol. Tangani 10 marta tashlaganda gerb tomoni 5 marta
tushishi ehtimoli topilsin.
C Tangani bittalab tashlash tajribasida gerb tomoning tushishi
ehtimoli p =
1
2
bo’ladi. Bundan q = 1 − p =
1
2
bo’lishi kelib
chiqadi.
Izlanayotgan ehtimolni Bernulli formulasidan foydalanib topa-
miz.
31