Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

−∞
(x − 0, 5)
2
· p(x)dx =
=
−2
R
−∞
(x − 0, 5)
2
· p(x)dx +
3
R
−2
(x − 0, 5)
2
· p(x)dx+
+∞
R
3
(x − 0, 5)
2
· p(x)dx =
3
R
−2
(x − 0, 5)
2
· 0, 2 · dx =
0,2
3
(x −
0, 5)
3
|
3
−2
=
6,25
3
≈ 2, 1.B
73

9
◦
. Uzluksiz tasodifiy miqdorning asosiy taqsimot
qonunlari
a) Tekis taqsimot qonuni
Aytaylik, ξ uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lib, p(x) esa uning
ehtimol zichligi bo’lsin.
Agar p(x) finksiya biror [a, b] segmentda o’zgarmas bo’lib,
bu segmentning tashqarisida (ya’ni (−∞, a) va (b, +∞) da)
nolga teng, ya’ni
p(x) =
(
C, agar a ≤ x ≤ b;
0, agar x < a, x > b
bo’lsa, ξ tasodifiy miqdor tekis taqsimlangan deyiladi.
Agar
+∞
Z
−∞
p(x)dx =
a
Z
−∞
p(x)dx+
b
Z
a
p(x)dx+
+∞
Z
b
p(x)dx =
b
Z
a
C·dx =
= C · (b − a) va ehtimol zichligi uchun 2- xossasiga binoan
+∞
Z
−∞
p(x)dx = 1
bo’lishini e’tiborga olsak, u holda,
C =
1
b − a
kelib chiqadi.
Ehtimol zichligi p(x) funksiyasining grafigi 2-chizmada tasvir-
langan.
74

-
x
6
a
b
1
b−a
p(x)
2-chizma
Taqsimot funksiyasini
F (x) =
x
Z
−∞
p(x)dx
formuladan foydalanib topamiz.
Aytaylik, x ≤ a bo’lsin. U holda
F (x) =
x
Z
−∞
p(x)dx = 0
bo’ladi.
Aytaylik, x ≥ b bo’lsin. U holda,
F (x) =
x
Z
−∞
p(x)dx =
a
Z
−∞
p(x)dx +
b
Z
a
p(x)dx +
x
Z
b
p(x)dx =
=
b
Z
a
dx
b − a
=
1
b − a
· (b − a) = 1
75

bo’ladi.
Aytaylik, a < x < b bo’lsin. U holda
F (x) =
x
Z
−∞
p(x)dx =
a
Z
−∞
p(x)dx +
x
Z
a
p(x)dx =
=
x
Z
a
1
b − a
dx =
1
b − a
· (x − a) =
x − a
b − a
.
Shunday qilib, tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsi-
mot funksiyasi
F (x) =







0, agar
x ≤ a;
x−a
b−a
, agar a < x < b;
1, agar
x ≥ b
bo’ladi. Uning grafigi 3-chizmada tasvirlangan.
-
x
6
a
©©
©©
©©
©©
©
b
1
0
F (x)
3-chizma
76

Endi tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor ξ ning matematik
kutilishi va dispersiyasini topaylik:
M(ξ) =
+∞
Z
−∞
x · p(x)dx =
a
Z
−∞
x · p(x)dx +
b
Z
a
x · p(x)dx+
+
+∞
R
b
x · p(x)dx =
b
R
a
x
b−a
dx =
1
b−a
·
x
2
2
|
b
a
=
b
2
−a
2
2(b−a)
=
a+b
2
;
D(ξ) =
+∞
Z
−∞
(x − M(ξ))
2
p(x)dx =
b
Z
a
1
b − a
(x −
b + a
2
)
2
dx =
=
1
b − a
·
(x −
b+a
2
)
3
3
|
b
a
=
(b −
a+b
2
)
3
− (a −
a+b
2
)
3
3(b − a)
=
b − a
12
.
b) Normal taqsimot qonuni
Aytaylik, ξ uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lib, p(x) uning ehti-
mol zichligi bo’lsin.
Agar p(x) funksiya ushbu
p(x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)2
2σ2
ko’rinishda bo’lsa, (bunda σ, a o’zgarmas va σ > 0) tasodifiy
miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi.
Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi-
ni topamiz. Ma’lumki,
F (x) =
x
Z
−∞
p(t)dt.
77

Demak,
F (x) =
x
Z
−∞
1
σ
√
2π
e
−
(t−a)2
2σ2
dt.
Bu integralni hisoblaymiz:
F (x) =
x
Z
−∞
1
σ
√
2π
e
−
(t−a)2
2σ2
dt =|
t − a
σ
= z,
dt
σ
= dz |=
=
1
σ
√
2π
·σ
x−a
σ
Z
−∞
e
−
z2
2
dz =
1
√
2π
0
Z
−∞
e
−
z2
2
dz+
1
√
2π
x−a
σ
Z
0
e
−
z2
2
dz =
=
1
√
2π
·
1
2
+∞
Z
−∞
e
−
z2
2
dz +
1
√
2π
x−a
σ
Z
0
e
−
z2
2
dz.
Ma’lumki,
+∞
Z
−∞
e
−
z2
2
dz =
√
2π,
1
√
2π
x
Z
0
e
−
z2
2
dz = Φ(x).
Natijada
F (x) =
1
2
+ Φ(
x − a
σ
)
bo’ladi.
Biz tasodifiy miqdor ξ ning qiymatlarini (α, β) intervalga
tushish ehtimoli
P {α < x < β} = F (β) − F (α)
78

bo’lishini ko’rgan edik. Bu ifodadan foydalanib,
P {α < x < β} = [
1
2
+ Φ(
β − a
σ
)] − [
1
2
+ Φ(
α − a
σ
)] =
= Φ(
β − a
σ
) − Φ(
α − a
σ
)
(5)
ni topamiz.
Endi normal taqsimlangan ξ tasodifiy miqdorning matema-
tik kutilishi va dispersiyasini topaylik.
M(ξ) =
+∞
Z
−∞
x · p(x)dx =
1
σ
√
2π
+∞
Z
−∞
x · e
−
(x−a)2
2σ2
dx =
=|
x−a
σ
= t, dx = σdt |=
1
σ
√
2π
· σ
+∞
R
−∞
(σ · t + a)e
−
t2
2
dt =
σ
√
2π
+∞
R
−∞
te
−
t2
2
dt +
a
√
2π
+∞
R
−∞
e
−
t2
2
dt =
σ
√
2π
[
0
R
−∞
te
−
t2
2
dt+
+∞
R
0
te
−
t2
2
dt]+
a
√
2π
·
√
2π =
σ
√
2π
[−
+∞
R
0
te
−
t2
2
dt +
+∞
R
0
te
−
t2
2
dt] + a = a; D(ξ) =
+∞
R
−∞
(x − M(ξ))
2
· p(x)dx =
1
σ
√
2π
+∞
R
−∞
(x − a)
2
· e
−
(x−a)2
2σ2
dx =
=|
x−a
σ
= t, dx = σdt |=
1
σ
√
2π
· σ
+∞
R
−∞
σ
2
t
2
e
−
t2
2
dt =
σ
2
√
2π
·
·
+∞
R
−∞
t
2
e
−
t2
2
dt; bu integralni bo’laklab integrallasak, te
−
t2
2
dt =
dv, v = −e
−
t2
2
, u = t, du = dt, D(ξ) =
σ
2
√
2π
[−te
−
t2
2
|
+∞
−∞
+
+∞
R
−∞
e
−
t2
2
dt] =
σ
2
√
2π
·
√
2π = σ
2
.
79

Demak, normal taqsimot bo’yicha taqsimlangan tasodifiy
miqdor ξ ning matematik kutilishi va dispersiyasi M(ξ) =
a, D(ξ) = σ
2
bo’ladi (bular ehtimol zichligidagi parametr-
lardir).
Normal qonun ta’rifidagi ehtimol zichligi p(x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−a)2
2σ2
funksiyaning grafigi a = 0 σ = 2 bo’lganda 4-chizmada tasvir-
langan.
-
x
6
p(x)
4-chizma
Aytaylik, ξ-normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy
miqdor, a esa uning matematik kutilishi (o’rta qiymati) bo’lsin.
Ko’pincha
|ξ − a|
miqdorning biror berilgan musbat sondan kichik bo’lishining
ehtimolini topish kerak bo’ladi. Yuqorida keltirilgan (5) for-
muladan foydalanib, bunday masalani yechish mumkin.
Misol tariqasida ushbu
P {|ξ − a| < 3σ}
80

ehtimolni topamiz.
Ravshanki, |ξ−a| < 3σ tengsizlik ushbu −3σ < ξ−a < 3σ,
ya’ni a − 3σ < ξ < a + 3σ tengsizliklarga ekvivalent. Shuni
va (5) formulani e’tiborga olib,
P {|ξ−a| < 3σ} = P {−3σ < ξ−a < 3σ} = Φ(
a + 3σ − a
σ
)−
−Φ(
a − 3σ − a
σ
) = Φ(3) − Φ(−3) = Φ(3) + Φ(3) = 2Φ(3).
Jadvalga ko’ra Φ(3) = 0, 49865 bo’lib,
P {|ξ − a| < 3σ} = 0, 99730.
Mashqlar.
1. Aytaylik, ξ tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha
bo’lsin:
ξ
2
-4
0
1
-5
6
-3
p 0,15 0,1 0,07 0,2 0,2 0,08 x
x topilsin.
2. Taqsimot qonunlari quyidagicha:
ξ -2
0
1
3
p 0,3 0,2 0,4 0,1
η -1
1
2
4
p 0,2 0,4 0,3 0,1
bo’lgan ξ va η tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari
va dispersiyalari topilsin.
3. Yuqorida, 2-mashqda keltirilgan ξ va η tasodifiy miqdor-
lar uchun M(ξ + η), M (ξ · η), D(ξ + η) lar topilsin.
81

4. Yuqorida, 2-mashqda keltirilgan ξ va η tasodifiy miqdor-
lar uchun D(3 − 2ξ), D(5 − 3η) lar topilsin.
5. Agar ξ tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi p(x) funksiya
[1,3;2,7] segmentda h ga, bu segmentning tashqarisida esa 0 ga
teng bo’lsa, h topilsin.
6. Agar ξ tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi p(x) funksiya
[0, π] da p(x) =
1
2
sinx, segmentning tashqarisida nolga teng
bo’lsa, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi topilsin.
7. Agar ξ tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi
p(x) =
(
3cos6x, agar −
π
12
≤ x ≤
π
12
;
0, agar
x < −
π
12
, x >
π
12
bo’lsa, P {
π
36
< ξ <
π
10
} ehtimol topilsin.
8. Binomial qonun bo’yicha taqsimlangan ξ tasodifiy miq-
dorning matematik kutilishi va dispersiyasi topilsin, bunda
n = 10, p = 0, 4.
9. Binomial qonun bo’yicha taqsimlangan ξ tasodifiy miq-
dorning matematik kutilishi va dispersiyasi topilsin, bunda
n = 100, p = 0, 2.
10. Nishonga qarab uchta o’q otilgan bo’lib, har bir o’qning
nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga teng. Agar o’qning nishon-
ga tegishlar sonini ξ tasodifiy miqdor bo’lsa, uning taqsimot
qonuni topilsin.
11.Otish qurolidan otilgan o’qning nishonga tegish ehtimoli
p = 0, 6 ga teng. Agar 10 ta o’q otilgan bo’lsa, nishon-
82

ga tegish sonini ifodalovchi tasodifiy miqdorning matematik
kutilishi topilsin.
12. Aytaylik, ξ tasodifiy miqdor 100 ta o’zaro bog’liq bo’lma-
gan tajribada A hodisaning sodir bo’lish sonini ifodalasin. Agar
har bir tajribada A hodisaning sodir bo’lish ehtimoli 0,7 ga
teng bo’lsa, ξ tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
13. Aytaylik, 5000 ta mahsulotdan iborat to’plamdan olin-
gan har bir mahsulotning yaroqsiz bo’lish ehtimoli 0,02 ga
teng bo’lsin. To’plamdagi yaroqsiz mahsulotlar soni ξ tasodifiy
miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi topilsin.
14. Ikkita o’zaro bog’liq bo’lmagan tajribada A hodisaning
sodir bo’lish soni tasodifiy miqdor bo’lib, uni ξ bilan belgilay-
lik. Agar M(ξ) = 0, 8 bo’lsa, ξ ning dispersiyasini toping.
15. Inson bo’yining uzunligi tasodifiy miqdor bo’lib, u nor-
mal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsin. Agar a = 164 sm,
σ = 5, 5 sm bo’lsa, bu tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi
topilsin.
16. Suv havzasidan tutib olingan baliqlarning massasi para-
metrlari a = 375 g, σ = 25 g bo’lib normal qonun bo’yicha
taqsimlangan. Tutilgan baliqlarning massasi 300 g dan 425 g
gacha bo’lgan oraliqda bo’lish ehtimoli topilsin.
17. ξ tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan
bo’lib, M(ξ) = 30, D(ξ) = 100 bo’lsin. Tasodifiy miqdor
qiymatining (10;50) intervalda bo’lish ehtimoli topilsin.
83

18. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning matema-
tik kutilishi va disprsiyasi mos ravishda 10 va 4 ga teng. Sinash
natijasida X ning (12:14) oraliqda yotadigan qiymat qabul
qilish ehtimoli topilsin.
19. X tasodifiy miqdor normal taqsimlangan bo’lib,
uning matematik kutilishi va o’rtacha kvadratik chetlanishi
mos ravishda 20 va 10 ga teng. Chetlanishining absolyut
qiymati bo’yicha 3 dan kichik bo’lishi ehtimolini toping.
20. X tasodifiy miqdor normal taqsimlangan. Uning mate-
matik kutilishi 5 va dispersiyasi 4 ga teng. X ning (1:10)
oraliqqa tegishli qiymat qabul qilish ehtimoli topilsin.
84

4-bob
Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari
1
◦
. Chebishev tengsizligi
Mazkur tengsizlikni keltirishdan avval bir munosabatni o’rin-
li bo’lishini isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, ξ manfiy bo’lmagan qiymatlarni qabul qiladi-
gan tasodifiy miqdor bo’lib, M(ξ) uning matematik kutilishi
bo’lsin. Ushbu {ξ ≥ 1} hodisani qaraylik. Uning ehtimoli
uchun
P {ξ ≥ 1} ≤ M(ξ)
(1)
bo’ladi. Shu munosabatni isbotlaymiz.
Soddalik uchun, (1) tengsizlikning isbotini diskret tasodifiy
miqdorlar uchun keltiramiz.
Aytaylik, ξ diskret tasodifiy miqdor bo’lib, uning qabul qi-
ladigan qiymatlari
x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
bo’lsin. Bu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
M(ξ) =
n
X
k=1
x
k
· P {ξ = x
k
}
ga teng bo’ladi.
Ravshanki,
{ξ = x
1
}, {ξ = x
2
}, {ξ = x
3
}, ..., {ξ = x
n
}
85

hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalardir. Ehtimollarni qo’-
shish teoremasidan foydalanib
n
X
k=1
P {ξ = x
k
} =
X
x
k
≥1
P {ξ = x
k
} +
X
x
k
<1
P {ξ = x
k
} =
= P {ξ ≥ 1} + P {ξ < 1} ga ega bo’lamiz.
Ravshanki,
P {ξ ≥ 1} =
X
x
k
≥1
P {ξ = x
k
} ≤
X
x
k
≥1
x
k
P {ξ = x
k
}
bo’lib,
X
x
k
≥1
x
k
P {ξ = x
k
} ≤
X
x
k
≥1
x
k
P {ξ = x
k
}+
X
x
k
<1
x
k
P {ξ = x
k
} =
=
n
X
k=1
x
k
· P {ξ = x
k
} = M(ξ)
bo’ladi. Keyingi munosabatdan
P {ξ ≥ 1} ≤ M(ξ)
kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, ξ ixtiyoriy tasodifiy miqdor bo’lib, uning
dispersiyasi D(ξ) mavjud bo’lsin.
1-teorema. Ixtiyoriy ε > 0 son uchun
P {|ξ − M(ξ)| ≥ ε} ≤
D(ξ)
ε
2
(2)
bo’ladi.
86

C Ushbu
|ξ − M(ξ)| ≥ ε
hodisa
(ξ − M(ξ))
2
ε
2
≥ 1
hodisaga teng. Demak,
P {|ξ − M(ξ)| ≥ ε} = P {
(ξ − M(ξ))
2
ε
2
≥ 1}.
(1) tengsizlikdan foydalanib,
P {
(ξ − M(ξ))
2
ε
2
≥ 1} ≤ M(
(ξ − M(ξ))
2
ε
2
)
tengsizlikka ega bo’lamiz. Ma’lumki,
M(
(ξ − M(ξ))
2
ε
2
) =
1
ε
2
M((ξ−M(ξ))
2
), M ((ξ−M(ξ))
2
) = D(ξ).
Demak,
P {|ξ − M(ξ)| ≥ ε} ≤
D(ξ)
ε
2
.B
Eslatma. Ushbu
{|ξ − M(ξ)| < ε}
hodisa yuqorida qaralgan
{|ξ − M(ξ)| ≥ ε}
hodisaga qarama-qarshi bo’ladi. Shu sababli (2) tengsizlikni
quyidagicha
P {|ξ − M(ξ)| < ε} ≥ 1 −
D(ξ)
ε
2
(3)
87

ham ifodalasa bo’ladi.
Odatda, (2)(xuddi shuningdek (3)) tengsizlik Chebishev teng-
sizligi deyiladi.
2
◦
. Chebishev teoremasi
2-teorema.(Chebishev teoremasi). Agar
ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, ..., ξ
n
, ...
o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar bo’lib, ular bit-