Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim
vazirligi
Toshkent temir yo’l muhandislari instituti
I.G.G’aniev, X.T.Mansurov,
R.N.G’anixojaev
EHTIMOLLAR NAZARIYASI
VA MATEMATIK STATISTIKA
O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi
tomonidan o’quv qo’llanma sifatida tavsiya etilgan
TOSHKENT–2007

UDK 519.21
Taqrizchilar:
O’zbekiston Respublikasi FA akademigi Sh.Q. Farmonov
O’zbekiston Milliy Universiteti Informatika va tatbiqiy dasturlash
kafedrasi mudiri professor M. Oripov
Toshkent temir yo’l muhandislari instituti oliy matematika kafed-
rasi dotsenti B.T. Egamberdiev
Ushbu o’quv qo’llanma texnik oliy o’quv yurtlari talabalariga mo’l-
jallangan bo’lib, ehtimollar nazariyasi va matematik statistika kursi-
ning asosiy bo’limlarini o’z ichiga oladi. Respublika oliy o’quv yurtlari-
da yangi pedagogik texnologiyalarga o’tish boshlanganini hisobga olib,
qo’llanma ma’ruzalarni o’quvchi mustaqil tushuna oladigan, soddaroq
ko’rinishda berilgan.
I.G.G’aniev, X.T.Mansurov, R.N.G’anixo’jaev Ehtimollar naza-
riyasi va matematik statistika.
c
°–T.: Toshkent temir yo’l muhandislari instituti, 2007.—
121 b.
ISBN ??????

So’z boshi
Matematikaning biz shu kursgacha o’qigan qismlari, ya’ni differen-
sial va integral hisob, chiziqli algebra, analitik geometriya va differen-
sial tenglamalar qismlari, albatta, qator amaliy masalalarni hal qilish-
da katta ahamiyatga ega. Ammo, hayotda shunday masalalar uchray-
diki, ularni hal qilish uchun matematikaning yuqorida qayd qilingan
qismlari yetarli emas. Masalan:
1) qurolli kuchlarda xizmat qilish uchun 30000 nafar yoshlar chaqi-
rilmoqda. Ularni kiyim-bosh formalari bilan ta’minlash uchun 40 chi,
41 chi,..., 45 chi razmer oyoq kiyimlaridan, taxminan, nechtadan tayy-
orlashga buyurtma berish zarur?
2) 200000 ta aholi yashaydigan shaharcha uchun umumiy soni nechta
o’rinli bo’lgan oshxonalar ochilishi maqsadga muvofiq?
3) 10 yildan so’ng Respublikamiz korxona va muassasalari uchun necha
nafar iqtisodchi, muhandis, vrach, yuristlar talab qilinishi mumkin?
Tabiat va jamiyatda takrorlanib turadigan, ammo natijasi har bir
holda avvaldan ma’lum bo’lmagan hodisalarni ham matematik usul-
da o’rganish va chuqur mazmunli xulosalarga kelish mumkin. Bun-
day tasodifiy (alohida olingan har bir hodisa) jarayonlarni ehtimollar
nazariyasi va matematik statistikada o’rganiladi.
Ushbu o’quv qo’llanma texnik oliy o’quv yurtlari talabalariga mo’ljal-
langan bo’lib, ehtimollar nazariyasi hamda matematik statistika kursi-
ning asosiy bo’limlarini o’z ichiga olgan va mualliflarning ko’p yillik
o’qigan ma’ruzalari asosida yozilgan. Respublikamiz oliy o’quv yurt-
larida yangi pedagogik texnologiyalarga o’tish boshlanganini hisob-
ga olib, qo’llanmani yozishda ma’ruzalarni o’quvchi mustaqil tushuna
oladigan, soddaroq ko’rinishda berishga harakat qilindi.
Mualliflar.

I-bob
Asosiy tushunchalar va tasdiqlar
1
◦
. Tasodifiy hodisa tushunchasi
Tabiatni, texnikani kuzatish jaroyonida turli hodisalar yuz
berishini ko’ramiz. Masalan, quyoshning chiqishi va botishi,
shamol natijasida chang-to’zon ko’tarilishi, otilgan o’qni ni-
shonga tegishi yoki tegmasligi, tangani tashlash natijasida un-
ing raqamli (R) yoki gerbli (G) tomoni tushishi hodisalarga
misol bo’ladi.
Umuman aytganda, hodisa deganda, kuzatish yoki tajriba
natijasida yuzaga kelgan dalil (fakt) tushiniladi. Masalan, tan-
gani bir marta tashlaganda, uning G tomoni tushishi bir hodisa
bo’lsa, R tomonini tushishi ikkinchi hodisa boladi.
Hodisalar ma’lum shartlar(shartlar majmuasi) bajarilganda
yoki tajriba (sinov) o’tkazish natijasida sodir bo’ladi.
Quyidagi misolni qaraylik. Simmetrik kubikni 6 ta tomoni
bo’lib,uning har bir tomoniga bittadan 1 dan 6 gacha raqam
yozilgan. Tajriba kubikni tashlashdan iborat: 1) agar hodisa
kubikning biror tomonini tushishidan iborat bo’lsa, u har doim
sodir bo’ladi (bunday xodisa muqqarar hodisa deyiladi); 2)
agar hodisa 7 raqamli tomonini tushishidan iborat bo’lsa,u
mutlaqo sodir bo’lmaydi ( bunday hodisa mumkin bo’lmagan
hodisa deyiladi); 3) agar hodisa 3 raqamli tomonini tushishidan
iborat bo’lsa, u sodir bo’lishi ham mumkin, sodir bo’lmasligi
4

ham mumkin. Tajriba natijasida sodir bo’lishi ham, sodir
bo’lmasligi ham mumkin bo’lsa, hodisa tasodifiy hodisa deyi-
ladi.
Odatda, hodisalar bosh harflar bilan belgilanadi. Muqqarar
hodisa U harfi, mumkin bo’lmagan hodisa esa V harfi bilan
belgilanadi. Keyinchalik,tasodifiy hodisa deyish o’rniga hodisa
deb ketaveramiz.
Tajribaning har bir natijasini ifodalovchi hodisa elementlar
hodisa deyiladi . Masalan, tajriba tangani ikki marta tash-
lashdan iborat bo’lsin. Bu tajribada sodir bo’ladigan elemen-
tar hodisalar quydagicha bo’ladi: birinchi tashlashda-G, R;
ikkinchi tashlashda esa- {G, G},{G, R},{R, G},{R, R}. De-
mak, tajriba natijasida 4 ta elementar hodisalar yuzaga kelib,
ular {G, G},{G, R},{R, G},{R, R} bo’ladi.
2
◦
. Hodisalar algebrasi
Aytaylik, tajriba natijasida A va B hodisalar sodir bo’lishi
mumkin bo’lsin.
1-ta’rif. Agar A hodisa sodir bo’lganda hamma vaqt B
hodisa ham sodir bo’lsa, A hodisa B hodisani ergashtiradi
deyiladi va A ⊂ B kabi yoziladi.
Masalan, kubikni tashlash tajribasida A- ikki raqamli tomoni-
ni tushishi hodisasi, B esa juft tomonini tushishi hodisasi bo’lsa,
A ⊂ B bo’ladi. Agar A ⊂ B, B ⊂ A bo’lsa A va B teng
kuchli hodisalar deyiladi. Uni A = B kabi yoziladi.
5

2-ta’rif. A va B hodisalarning hech bo’lmaganda bit-
tasining sodir bo’lishi natijasida sodir bo’ladigan C hodis-
aga A va B hodisalar yig’indisi deyiladi va C = A+B kabi
yoziladi.
Xuddi shunga o’xshash A
1
, A
2
, ..., A
n
hodisalar yig’indisi
ta’riflanadi.
Keltirilgan ta’rifdan bevosita A + B = B + A, A + A = A
bo’lishi kelib chiqadi.
3-ta’rif. A va B hodisalarning (bir vaqtda) sodir bo’lishi
natijasida sodir bo’ladigan D hodisa, A va B hodisalar
ko’paytmasi deyiladi. Uni D = A · B kabi yoziladi
Xuddi shunga o’xshash A
1
, A
2
, ..., A
n
hodisalar ko’paytmasi
ta’riflanadi. Bu ta’rifdan bevosita A · B = B · A, A · A = A
bo’lishi kelib chiqadi.
4-ta’rif. Agar A hodisaning sodir bo’lishi B hodisani
ham sodir bo’lishini inkor etmasa, A va B birgalikda bo’lgan
hodisalar deyiladi.
Masalan, kubikni bir marta tashlash tajribasida 3 raqamli
tomon tushish hodisasi, toq raqamli tomonini tushishi hodisasi
B lar bigalikda bo’lgan hodisalar bo’ladi.
5-ta’rif. Agar A hodisaning sodir bo’lishi B hodisaning
sodir bo’lishini inkor etsa, A va B birgalikda bo’lmagan
hodisalar deyiladi. Bu holda A · B = V bo’ladi. Masalan,
tangani bir marta tashlash tajribasida G tomonini tushish
6

hodisasi A, R tomonini tushish hodisasi B lar birgalikda
bo’lmagan hodisalar bo’ladi.
Agar tajriba natijasida sodir bo’lishi mumkin bo’lgan
A
1
, A
2
, ..., A
n
hodisalarning birining sodir bo’lishi boshqasin-
ing sodir bo’lishiga nisbatan imkonoyatliroq bo’lmasa, A
1
, A
2
,
..., A
n
hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi.
Agar A va B hodisalar uchun A + B = U, A · B = V
bo’lsa, A va B lar o’zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. A
hodisaga qarama-qarshi hodisa A kabi belgilanadi.
3
◦
. Hodisa ehtimolinng ta’rifi
Ma’lumki, tajriba natijasisida birqancha hodisalar (ko’pincha
ularni sanash mumkin bo’ladi) yuzaga keladi. Bunda ba’zan
hodisalarning yuzaga kelish imkoniyati boshqa hodisalarning
yuzaga kelish imkoniyatidan ko’proq yoki kamroq bo’lishi mumkin.
Uni xarakterlaydigan miqdorni aniqlash hodisa ehtimoli tushincha-
siga olib keladi.
Aytaylik, tajriba natijasida bir hil imkoniyat bilan
E
1
, E
2
, ..., E
n
hodisalar yuzaga kelgan bo’lsin.
6-ta’rif. Agar
1)E
1
+ E
2
+ ... + E
n
= U
2)E
i
· E
j
= V (i, j = 1, 2, ..., n)(i 6= j)
7

bo’lsa E
1
, E
2
, ..., E
n
hodisalar jufti-jufti bilan birgalikda bo’l-
magan teng imkoniyatli hodisalarlarning to’la gruppasini
tashkil etadi deyiladi.
Masalan, kubikni tashlash tajribasida E
i
-kubikning i raqam-
li (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) tomonini tushish hodisasi deyilsa, unda
E
1
, E
2
, E
3
, E
4
, E
5
, E
6
lar jufti-jufti bilan birgalikda bo’lmagan
hodisalarning to’la gruppasini tashkil etadi. Bunda
E
1
, E
2
, E
3
, E
4
, E
5
, E
6
teng imkoniyatli elementar hodisalardir.
Hodisa ehtimolining ta’rifini keltirishdan avval yana bitta
tushincha bilan tanishamiz.
A va B hodisalarni qaraylik. Agar A hodisaning sodir
bo’lishi o’z navbatida B hodisani ergashtirsa, A hodisa B ning
sodir bo’lishiga qulaylik tug’diruvchi hodisa deyiladi. Masalan,
A hodisa kubikni tashlash tajribasida uning juft raqamli tomoni-
ni tushishidan iborat bo’lsin. Bunda E
2
, E
4
, E
6
elementar
hodisalar A hodisaning sodir bo’lishiga qulaylik tug’diradi.
Aytaylik, n ta hodisalarning to’la gruppasini tashkil etuvchi
E
1
, E
2
, ..., E
n
elementar hodisalardan m tasi A hodisaning
sodir bo’lishiga qulaylik tug’dirsin.
7-ta’rif. Ushbu
m
n
son A hodisaning ehtimoli deyiladi
va uni P (A) kabi yoziladi:
P (A) =
m
n
(1)
8

Misol. Tajriba kubikni tashlash bo’lib, A hodisa juft raqam-
li tomonini tushishdan iborat bo’lsin. A hodisaning ehtimolini
topilsin.
C Ravshanki, bu holda elementar hodisalar E
1
= {1}, E
2
=
{2}, E
3
= {3}, E
4
= {4}, E
5
= {5}, E
6
= {6} bo’lib, E
2
=
{2}, E
4
= {4}, E
6
= {6} A hodisaning sodir bo’lishiga qulay-
lik tug’diradi. Demak, (1) formulaga ko’ra A hodisaning ehti-
moli
P (A) =
3
6
=
1
2
bo’ladi.B
Misol. Tajriba tangani uch marta tashlashdan iborat bo’lib,
A esa ikki marta raqamli tomonini tushishi hodisasi bo’lsin. A
hodisaning ehtimoli topilsin.
C Avvalo, sodir bo’ladigan barcha elementar hodisalarni
aniqlaymiz:
birinchi tashlash : (G), (R);
ikkinchi tashlash:(G, G), (G, R), (R, G), (R, R);
uchinchi tashlash:(G, G, G), (G, G, R), (G, R, G), (G, R, R),
(R, G, G), (R, G, R), (R, R, G), (R, R, R) elementar hodisalar
sodir bo’lishi mumkin.
Demak, quyidagi elementar hodisalar:
E
1
= (G, G, G), E
2
= (G, G, R), E
3
= (G, R, G), E
4
=
(G, R, R), E
5
= (R, G, G), E
6
= (R, G, R), E
7
= (R, R, G),
9

E
8
= (R, R, R) sodir bo’lishi mumkin. Ular teng imkoniyatli.
A hodisaning sodir bo’lishiga qulaylik tug’diruvchi hodisalar
E
4
= (G, R, R), E
6
= (R, G, R), E
8
= (R, R, R) bo’ladi.
(1) formuladan foydalanib A hodisaning ehtimolini topamiz:
P (A) =
3
8
= 0, 375.B
4
◦
. Ehtimolning sodda xossalari
Hodisa ehtimoli ta’rifidan uning quyidagi sodda xossalari
kelib chiqadi:
1) muqqarar hodisaning ehtimoli 1 ga teng bo’ladi:
P (U) = 1.
C Bu holda hodisa ehtimoli ta’rifidagi n va m lar uchun
n = m bo’lib,
P (U) =
m
n
=
n
n
= 1
bo’ladi B;
2) mumkin bo’lmagan hodisa ehtimoli nolga teng bo’ladi:
P (V ) = 0.
C Bu holda m = 0 bo’lib,
P (V ) =
m
n
=
0
n
= 0.
bo’ladi B;
3) tasodifiy hodisa ehtimoli musbat son bo’lib, u nol bilan
bir orasida bo’ladi: 0 < P (A) < 1.
C Bu holda ta’rifdagi n va m lar uchun 0 < m < n bo’lib,
10

0
n
<
m
n
<
n
n
,
ya’ni 0 < P (A) < 1 bo’ladi.B;
4) A hodisaga qarama-qarshi A hodisaning ehtimoli
P (A) = 1 − P (A)
bo’ladi.
C Aytaylik, A hodisaning ehtimoli P (A) =
m
n
bo’lsin. Rav-
shanki, A hodisaga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar
soni n − m ga teng. Unda
P (A) =
n−m
n
bo’lib, keyingi tenglikdan P (A) = 1 − P (A) bo’lishi kelib
chiqadi.B
5
◦
. Ehtimolinng statistik ta’rifi
Yuqorida keltirilgan hodisa ehtimolining ta’rifida elemen-
tar hodisalar soni chekli va ular teng imkoniyatli deb qaraldi.
Ko’p hollarda elementar hodisalarning soni chekli va ular teng
imkoniyatli bo’lavermaydi.
Binobarin, bunday holda hodisa ehtimolini (1) formula yor-
damida topib bo’lmaydi.
Faraz qilaylik, n marta tajriba o’tkazilgan bo’lib, shu nati-
jalardan biri A hodisa deylik. Ravshanki, tajriba natijasida
A hodisa bir necha bor sodir bo’lishi mumkin. Aytaylik, A
hodisa µ marta sodir bo’lsin.
11

8-ta’rif. A hodisaning sodir bo’lishi soni µ ni tajribalar
soni n ga nisbati A hodisaning nisbiy chastotasi deyiladi
va W
n
kabi belgilanadi:
W
n
=
µ
n
.
(2)
Ravshanki,
0 ≤ W
n
≤ 1.
(2) tenglikdan µ = W
n
· n ni topamiz. Demak, n ta tajribada
A hodisaning sodir bo’lish soni uning nisbiy chastotasini tajri-
balar soniga ko’paytirilganiga teng ekan.
Ko’p sondagi tajribalar va kuzatishlar natijasida n sonining
o’sa borishi bilan nisbiy chastota biror son atrofida tebranib
turishi aniqlangan. Masalan, tangani tashlash tajribasini qaray-
lik. Bunda tangani gerb tomoni tushishi hodisasi A ning nis-
biy chastotasi 1-odamda 0,501, 2-odamda 0,485, 3-odamda
0,509, 4-odamda 0,506, 5-odamda 0,485, 6-odamda 0,488, 7-
odamda 0,500, 8-odamda 0,497, 9-odamda 0,494, 10-odamda
0,484 bo’lishi kuzatilgan. Keltirilgan ma’lumotlardan ko’rinadiki,
A hodisaning nisbiy chastotasi 0,5 soni atrofida tebranib turar
ekan.
9-ta’rif. Agar n sonining katta qiymatlarida A hodi-
saning chastotasi p soni atrofida tebranib tursa, p soni A
hodisaning ehtimoli deyiladi.
12

Tasodifiy hodisa ehtimolining bu statistik ta’rifi statistik
masalalarni hal qilishda ko’p foydalaniladi.
6
◦
. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teore-
malari
Faraz qilaylik, A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib,
P (A), P (B) ularning ehtimollari bo’lsin.
1-teorema. A va B hodisalar yig’indising ehtimoli bu
hodisalar ehtimollarining yig’indisiga teng:
P (A + B) = P (A) + P (B)
(3)
C Aytaylik,
P (A) =
m
1
n
, P (B) =
m
2
n
bo’lsin. A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lgani uchun
A hodisaning sodir bo’lishi B hodisaning sodir bo’lishini inkor
etadi va aksincha. Demak, A + B hodisaning sodir bo’lishiga
qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni m
1
+m
2
bo’ladi.
(1) formulaga ko’ra
P (A + B) =
m
1
+m
2
n
bo’lib, undan
P (A + B) =
m
1
n
+
m
2
n
= P (A) + P (B)
bo’lishi kelib chiqadi.B
13

Misol. Yashikda bir hil o’lchamli 3 ta oq, 5 ta qizil, 7
ta sariq bayroqchalar bor. Tavakkaliga olingan bayroqchaning
rangli bo’lishi (oq bo’lmasligi) hodisasining ehtimoli topilsin.
C Aytaylik, A- olingan bayroqchaning qizil bo’lish hodisasi,
B esa sariq bo’lish hodisasi bo’lsin. Ravshanki,
P (A) =
5
15
, P (B) =
7
15
.
A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib, A + B hodisa
olingan bayroqchaning rangli bo’lish hodisasini ifodalaydi. (3)
formuladan foydalanib,
P (A + B) = P (A) + P (B) =
5
15
+
7
15
= 0, 8
ni topamiz.B
Faraz qilaylik, A va B birgalikda bo’lgan hodisalar bo’lib,
P(A),P(B) ularning ehtimollari bol’sin.
2-teorema. A va B hodisalar yig’indising ehtimoli uchun
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · B)
(4)
formula o’rinli bo’ladi.
C Aytaylik, barcha n ta elementar hodisalardan m
1
tasi
A hodisaga, m
2
tasi B hodisaga, m
3
tasi esa A · B hodisaga
qulaylik tug’dirsin. Ravshanki, A + B hodisaga m
1
+ m
2
− m
3
ta elementar hodisalar qulaylik tug’diradi. (1) formulaga ko’ra
P (A + B) =
m
1
+m
2
−m
3
n
14

bo’ladi. Keyingi tenglikdan
P (A + B) =
m
1
n
+
m
2
n
−
m
3
n
= P (A) + P (B) − P (A · B)
bo’lishi kelib chiqadi.B
Eslatma. Agar A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar
bo’lsa, unda A·B mumkin bo’lmagan hodisa bo’lib, P (A·B) =
0 bo’ladi. Demak, (3) formula (4) formulaning hususiy holi
ekan.
A va B hodisalarni qaraylik.
10-ta’rif. A va B hodisalarning har birining sodir bo’-
lishi ehtimoli boshqasining sodir bolishishi yoki bo’lmasligi
ehtimoliga bog’liq bo’lmasa, A va B hodisalar erkli hodis-
alar deyiladi, aks holda A va B hodisalar bog’liq hodisalar
deyiladi.
Misol. Yashikda 2 ta qizil, 3 ta sariq rangli bayroqchalar
bor. Yashikdan tavakkaliga bitta bayroqcha olish tajribasi
o’tkazilayotgan bo’lsin. Agar olingan bitta bayroqchaning qizil
chiqish hodisasini A desak, uning ehtimoli P (A) =
2
5
bo’ladi.
Endi olingan bayroqchani yashikka qaytarib, so’ng bayroqchalar-
ni aralashtiramiz. Yashikdan tavakkaliga bitta bayroqcha ol-
ish tajribasini ikkinchi marta o’tkazib, unda qizil bayroqcha
chiqish hodisasini B deylik. Ravshanki, bu hodisaning ehtimoli
P (B) =
2
5
bo’ladi. Demak, A va B erkli hodisalar.
15

Faraz qilaylik, birinchi tajribada olingan bayroqcha yashik-
ka qaytarilmasin. Agar birinchi tajribada A hodisasi sodir
bo’lgan bo’lsa,unda B hodisaning ehtimoli P (B) =
1
4
bo’lib,
u kamayadi. Agar birinchi tajribada sariq bayroqcha chiqqan
bo’lsa, unda B hodisaning ehtimoli P (B) =
2
4
=
1
2
bo’lib, u os-
hadi. Shunday qilib, B hodisaning ehtimoli A hodisani sodir
bolishi yoki bo’lmasligiga bog’liq bo’ladi. Bu holda A va B
bog’liq hodisalar bo’ladi.
Faraz qilaylik, A va B erkli hodisalar bo’lsin.
3-teorema. A va B hodisalar ko’paytmasining ehtimoli
bu hodisalar ehtimollarining ko’paytmasiga teng:
P (AB) = P (A)P (B).
C Aytaylik,
P (A) =
m
n
,