Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

P
10
(5) = C
5
10
(
1
2
)
5
· (
1
2
)
10
=
10!
5!5!
· (
1
2
)
10
=
252
1024
(≈ 0, 25).B
n ta tajribada A hodisasining sodir bo’lmasligi, bir mar-
ta sodir bo’lishi,ikki marta sodir bo’lishi, va hokazo, n marta
sodir bo’lishi hodisaning yig’indisi muqarrar hodisa bo’lganligi
uchun
P
n
(0) + P
n
(1) + P
n
(2) + P
n
... + P
n
(n) =
n
P
k=0
P
n
(k) = 1
bo’ladi.
n ta tajriba o’tkazilgan bo’lsin. Quydagi hodisalarni qaray-
lik:
1) hodisaning k dan kam marta sodir bo’lishi hodisasi-
{0 6 µ 6 k − 1};
2) hodisaning k dan ko’p marta sodir bo’lishi hodisasi-
{k + 1 6 µ 6 n};
3) hodisaning kamida k marta sodir berish hodisasi-
{k 6 µ 6 n};
4) hodisaning ko’pi bilan k marta sodir bo’lishi hodisasi-
{0 6 µ 6 k}.
Yuqorida keltirilgan hodisalarning ehtimollari quyidachicha
bo’ladi:
32

P
n
{0 6 µ 6 k − 1} =
k−1
P
m=0
P
n
(m); P
n
{k + 1 6 µ 6 n} =
n
P
m=k+1
P
n
(m); P
n
{k 6 µ 6 n} =
n
P
m=k
P
n
(m);
P
n
{0 6 µ 6 k} =
k
P
m=0
P
n
(m).
3
◦
. Laplasning lokal teoremasi
Bernulli sxemasida tajribalar soni n etarlicha katta bo’lganda
P
n
(k) ehtimolni Bernulli formulasi bo’yicha hisoblash katta
qiyinchiliklar tug’diradi. Ravshanki, bunday holda P
n
(k) ni
taqribiy hisoblash masalasi yuzaga keladi. Laplas teoremasi
P
n
(k) ehtimolni taqribiy hisoblash imkonini beradigan formu-
lani ifodalaydi.
1-teorema (Laplas teoremasi). Bernulli sxemasida
n ta tajribada A hodisaning k marta sodir bo’lish ehtimoli
uchun
P
n
(k) ≈
1
√
2πnpq
e
−
x2
2
(4)
bo’ladi, bunda P (A) = p, q = 1 − p, x =
k−np
√
npq
.
Agar
ϕ(x) =
1
√
2π
e
−
x2
2
deyilsa, (4) formula ushbu
P
n
(k) ≈
1
√
npq
ϕ(
k−np
√
npq
)
(5)
33

ko’rinishga keladi.
Mazkur kursda Laplas teoremasining isbotini keltirmaymiz.
ϕ(x) funksiya qiymatlarini aniqlaydigan jadval 1-ilovada kel-
trilgan. ϕ(x) juft funksiya, shuning uchun ϕ(−x) = ϕ(x).
Misol. Kubikni 800 marta tashlanganda uchga karrali
bo’lgan raqamlarning 267 marta tushish ehtimoli topilsin.
C Bu holda n = 800, k = 267, p =
1
3
, q =
2
3
bo’lib (5)
formulaga ko’ra
P
800
(267) ≈
1
√
800·
1
3
2
3
ϕ(
267−800·
1
3
√
800·
1
3
·
2
3
) =
3
40
ϕ(
1
40
)
bo’ladi. Jadvalga binoan ϕ(
1
40
) = ϕ(0, 025) ≈ 0, 398812 bo’li-
shini e’tiborga olib,
P
800
(267) ≈ 0, 03
bo’lishini topamiz.B
4
◦
. Laplasning integral teoremasi
Aytaylik,Bernulli sxemasi shartiga A hodisaning ehtimoli
P (A) = p(0 < p < 1) bo’lib, tajribalar soni n etarlicha
katta bo’lsin. Bu tajribada A hodisasini k
1
martadan kam
bo’lmagan, k
2
martadan ortiq bo’lmagan sonda sodir bo’lishi
ehtimolini qaraylik va uni P
n
(k
1
, k
2
) deb belgilaylik.
Ehtimollarni qo’shish teoremasidan foydalanib quyidagini
topamiz:
34

P
n
(k
1
, k
2
) = P
n
(k
1
) + P
n
(k
1
+ 1) + ... + P
n
(k
2
) =
k
2
P
k=k
1
P
n
(k).
(6)
Ravshanki, n va k etarlicha katta sonlar bo’lganda, P
n
(k
1
, k
2
)
ehtimolni (6) formula yordamida hisoblash katta qiyinchilik-
larga olib keladi. Shu munosabat bilan P
n
(k
1
, k
2
) ehtimolni
taqribiy hisoblash masalasini qaraymiz. Avvalo, (5) formulada
keltirilgan P
n
(k) ning taqribiy ifodasini (6) ga qo’yib, ushbu
P
n
(k
1
, k
2
) ≈
k
2
P
k=k
1
1
√
npq
ϕ(
k−np
√
npq
)
(7)
taqribiy formulaga kelamiz.
Agar x
k
=
k−np
√
npq
(k = k
1
, k
1
+ 1, ..., k
2
) deyilsa, unda
4x
k
= x
k+1
− x
k
=
(k + 1) − np
√
npq
−
k − np
√
npq
=
1
√
npq
bo’lib, (7) munosabat quyidagi
P
n
(k
1
, k
2
) ≈
k
2
X
k=k
1
ϕ(x
k
) · 4x
k
ko’rinishga keladi. Bu munosabatdagi yig’indi
ϕ(x) =
1
√
2π
e
−
x2
2
funksiyaning [x
k
1
, x
k
2
] oraliqdagi integral yig’indisidir va
n −→ ∞ da 4x
k
=
1
√
npq
−→ 0 bo’lganligi sababli yig’indining
35

limiti ushbu
x
k2
Z
x
k1
ϕ(x)dx
aniq integral bo’ladi. Binobarin, n ning yetarli katta qiymat-
larida
k
2
X
k=k
1
ϕ(x
k
) · 4x
k
≈
x
k2
Z
x
k1
ϕ(x)dx
deb olish mumkin.
Natijada P
n
(k
1
, k
2
) ≈
x
k2
R
x
k1
ϕ(x)dx =
1
√
2π
x
k2
R
x
k1
e
−
x2
2
dx bo’ladi,
bunda x
k
1
=
k
1
−np
√
npq
, x
k
2
=
k
2
−np
√
npq
.
Shunday qilib quyidagi Laplas teoremasiga kelamiz:
2-teorema (Laplasning integral teoremasi). Bernul-
li sxemasi sharti bajarilganda P
n
(k
1
, k
2
) ehtimol uchun ush-
bu
P
n
(k
1
, k
2
) ≈
1
√
2π
k2−np
√
npq
Z
k1−np
√
npq
e
−
x2
2
dx
(8)
taqribiy formula o’rinli bo’ladi, bunda 0 < p < 1.
Ushbu Φ(x) =
x
R
0
e
−
x2
2
dx funksiyani qaraylik. Odatda bu
funksiya Laplas funksiyasi yoki ehtimol integrali deyiladi.
36

Bu funksiya yordamida (8) taqribiy tenglik quydagicha yozi-
ladi:
P
n
(k
1
, k
2
) ≈ Φ(
k
2
− np
√
npq
) − Φ(
k
1
− np
√
npq
).
(9)
(9) formula Laplasning integral formulasi deyiladi.
P
n
(k
1
k
2
) ehtimolini asosan (9) formula yordamida hisoblana-
di.
Ma’lumki,
1
√
2π
Z
e
−x2
2
dx
integralni elementlar funksiyalar orqali hisoblab bo’lmaydi. Shu-
ni e’tiborga olib Φ(x) funksiyalarni qiymatlari topish jadvali
tuzilgan. U 2-ilovada keltirilgan. x > 5 qiymatlar uchun
Φ(x) = 0, 5 deb olinadi. x ning manfiy qiymatlari uchun
Φ(x) funksiyasini toqligini hisobga olib, 2-ilovadan foydalanish
mumkin.
Misol. Korhonada ishlab chiqarilgan mahsulotning yaro-
qsiz chiqishi ehtimoli 0,2 ga teng bo’lsin, 400 ta mahsulotdan
70 tadan 130 tagacha yaroqsiz bo’lishi ehtimoli topilsin.
C Masalaning shartiga binoan
n = 400, k
1
= 70, k
2
= 130p = 0, 2, q = 1 − p = 0, 8.
Izlanayotgan ehtimolni (9) formulaga ko’ra taqribiy hisoblaymiz:
P
400
(70, 130) ≈ Φ(
130 − 400 · 0, 2
√
400 · 0, 2 · 0, 8
) − Φ(
70 − 400 · 0, 2
√
400 · 0, 2 · 0, 8
) =
37

= Φ(6, 25) − Φ(−1, 25).
Jadvalga ko’ra (2-ilovaga qaralsin)
Φ(−1, 25) = −0, 39435, Φ(6, 25) = 0, 5
bo’lib,
P
400
(70, 130) ≈ 0, 5 − (−39435) = 0, 89435
bo’ladi.B
5
◦
. Puasson teoremasi
Biz yuqorida Bernulli cxemasiga doir masalani qaraganimiz-
da A hodisaning sodir bo’lish ehtimoli o’zgarmas va u p ga
(0 < p < 1) teng degan edik. Hodisaning ehtimoli tajribalar
soni n ga bog’liq bo’lgan hollar ham uchraydi.
Aytaylik, Bernulli cxemasida A hodisaning ehtimoli P (A) =
p
n
(p
n
> 0) bo’lib u n ga bog’liq va
1) n → ∞ da p
n
→ 0, 2) n · p
n
= λ = const, ya’ni p
n
=
λ
n
bo’lsin.
3-teorema (Puasson teoremasi). Bernulli sxemasida-
gi P
n
(k) ehtimol uchun n → ∞ da
P
n
(k) →
λ
k
k!
e
−λ
bo’ladi.
C Bernulli formulasiga binoan
P
n
(k) = C
k
n
p
k
n
(1 − p
n
)
n−k
38

bo’ladi. Shartga ko’ra p
n
=
λ
n
. Demak
P
n
(k) = C
k
n
(
λ
n
)
k
(1 −
λ
n
)
n−k
.
(10)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi birinchi ko’paytuvchi C
k
n
(
λ
n
)
k
uchun
C
k
n
(
λ
n
)
k
=
n(n−1)(n−2)...[n−(k−1)]
k!
·
λ
k
n
k
=
λ
k
k!
·
n
n
· · ·
n−1
n
·
n−2
n
· ··
n−(k−1)
n
=
λ
k
k!
(1 −
1
n
)(1 −
2
n
) · · · (1 −
k−1
n
) bo’lib, n → ∞ da
C
k
n
(
λ
n
)
k
→
λ
k
k!
bo’ladi.
Ikkinchi ko’paytuvchi (1 −
λ
n
)
n−k
uchun
(1−
λ
n
)
n−k
= (1−
λ
n
)
n
(1−
λ
n
)
−k
= {[1+(−
λ
n
)]
1
− λ
n
}
−λ
·(1−
λ
n
)
−k
bo’lib, n → ∞ da
(1 −
λ
n
)
n−k
→ e
−λ
.
Natijada, (10) munosabatdan n → ∞ da
P
n
(k) →
λ
k
k!
e
−λ
kelib chiqadi.B
Ravshanki, n yetarlicha katta bo’lsa, P
n
(k) ehtimol o’z limiti-
dan yetarlicha kam farq qiladi. Binobarin, n ning yetarlicha
katta qiymatlari uchun ushbu
P
n
(k) ≈
λ
k
k!
e
−λ
(11)
39

taqribiy formula o’rinli bo’ladi. (11) formula Puasson formulasi
deyiladi.
Eslatma. Puasson formulasi p juda kichik bo’lgan hollarda
qo’llanadi.
Misol. Zavodda 500 vagon ta’mirdan chiqarilgan. Agar
vagonlarni nosoz ta’mirlanganligi ehtimoli 0,002 bo’lsa, ta’mirlan-
gan vagonlardan 3 tasining nosoz ta’mirlanganligi ehtimoli topil-
sin.
C Masalaning shartidan topamiz:
n = 500, p
n
= 0, 002, k = 3, λ = k · p
n
= 500 · 0, 002 = 1.
Izlanayotgan ehtimol (11) formulaga ko’ra
P
500
(3) ≈
1
3!
e
−1
≈ 0.06
ga teng.B
Mashqlar.
1. Kubikni 10 marta tashlash tajribasi 1 raqamli tomonini
3 martadan ortiq bo’lmagan sonda tushish ehtimoli topilsin.
2. Ustahonada 6 ta motor ishlaydi.Har bir motorning tushlik
vaqtiga kelganda qizib ketish ehtimoli 0,8 ga teng. Tushlik
vaqtiga kelganda:
a) 4 ta motorning qizib ketish ehtimoli;
b) barcha motorlarning qizib ketishi ehtimolini topilsin.
40

3. Ekilgan urug’ning unib chiqishi 90 foizni tashkil etadi.
Ekilgan 4 ta urug’dan kamida uchtasining unib chiqish ehtimoli
topilsin.
4. Yakka otilgan o’qning nishonga tegish ehtimoli 0,2 ga
teng. 100 ta otilgan o’qdan rosa 20 tasining nishonga tegish
ehtimoli topilsin.
5. Yashikdagi mahsulotning 40 foizi birinchi zavodda, qol-
ganlari ikkinchi zavodda tayorlangan. Tavakkal qilib yashik-
dan 7 ta mahsulot olingan. Olingan mahsulotlardan ikkitasi
birinchi zavodda tayorlangan bo’lishi ehtimoli topilsin.
6. Tanga 400 marta tashlangan. Uning gerb tomonining
196 tadan kam bo’lmagan, 206 tadan ko’p bo’lmagan sonda
tushish ehtimoli topilsin.
7. Kubik 500 marta tashlangan. Uning 1 raqamli tomonini
78 marta tushish ehtimoli topilsin.
8. Fabrikada ishlab chiqarilgan mahsulotning 75 foizi bi-
rinchi navli. 300 ta ishlab chiqarilgan mahsulotdan 219 tadan
kam bo’lmagan, 234 tadan ko’p bo’lmagan sondagi mahsulot-
ning birinchi navli bo’lishi ehtimoli topilsin.
9. Tajribada A hodisaning sodir bo’lish ehtimoli 0,2 ga teng.
Bog’liqsiz holda 400 marta tajriba o’tkazilganda A hodisaning
78 tadan kam bo’lmagan sonda sodir bo’lishi ehtimoli topilsin.
10. Yakka otilgan o’qning nishonga tegish ehtimoli 0,8 ga
teng.1600 marta o’q otildi. Ulardan 1200 martadan kam bo’lma-
41

gan sondagisi nishonga tegish ehtimoli topilsin.
11. Ishchi ayol 300 ta urchuqqa xizmat ko’rsatadi. τ vaqt
oralig’ida har bir urchuqda yigirilayotgan ipning uzilish ehti-
moli 0,005 ga teng. Uzilishlarning eng katta ehtimolli sonini
va bu sonni ehtimolini toping.
12. Bir soat davomida ihtiyoriy abonentning kommutatorga
telefon qilish ehtimoli 0,01 ga teng. Telefon stansiyasi 300 abo-
nentga xizmat qiladi. Bir soat davomida rosa 4 ta abonentning
telefon qilish ehtimoli qancha?
13. O’yin soqqasini 8000 marta tashlaganda 6 ochko tushish
chastotasining p =
1
6
ehtimolidan farqi
1
80
dan kichik bo’lish
ehtimoli P ni toping.
14. Ayrim o’q uzishda o’qning nishonga tegish ehtimoli 0,63
ga teng, nishonga kamida 10 ta o’qni 0,9 ga teng, ehtimoli bilan
tekkizish uchun nechta o’q uzish kerak?
15. O’yin soqqasi 1400 marta tashlandi. Olti ochko tushishi-
ning eng katta ehtimolli sonining ehtimolini aniqlang.
16. Har birida A hodisaning ro’y berishi ehtimoli p = 0, 3
ga teng. 1000 ta sinov o’tkazildi. A hodisa yuz berushining
eng katta ehtimolli sonining ehtimoli topilsin.
17. Agar biror hodisaning har bir sinovda ro’y berish ehti-
moli 0,25 ga teng bo’lsa, bu holda 243 ta erkli sinovda hodisa-
ning rosa 70 marta ro’y brish ehtimolini toping.
18. O’g’il bolaning tug’ilishi ehtimoli 0,516 ga teng. 200
42

ta tug’ilgan bolalardan o’g’il va qiz bolalar soni teng bo’lish
ehtimolini toping.
19. Tanga 1000 marta tashlandi, gerbli tomon rosa 500
marta tushish ehtimolini toping.
20. Sinov o’tkazilayotgan davrda mahsulotning ishdan chiqish
ehtimoli 0,05 ga teng bo’lsa, 100 ta mahsulotdan sinash nati-
jasida kamida 5 ta mahsulotni ishdan chiqish ehtimoli topilsin.
43

3-bob
Tasodifiy miqdorlar
1
◦
.Tasodifiy miqdor tushunchasi
Ko’p holda tabiatda, fan va texnikada uchraydigan miqdor-
larni qiymatlarini aniq aytib bo’lmaydi. Masalan, biron sha-
harda bir oy davomida tug’iladigan o’g’il bolalar sonini, bir yil
davomida yer yuziga tushadigan meteoritlar sonini, mo’ljalga
qarab otilgan o’qning mo’ljaldan o’q tekkan joygacha bo’lgan
masofani aniq aytib bo’lmaydi. Bunday vaziyatlar kelib chiqish-
ga sabab–miqdorlarning turli tasodifiy holatlar ta’sirida bo’li-
shidadir.
Tasodifiy holatlar ta’sirida u yoki bu son qiymatlaridan biri-
ni qabul qiladigan o’zgaruvchi miqdor tasodifiy miqdor deb
qaraladi. Yuqorida keltirilgan misolda tug’iladigan o’g’il bo-
lalar soni, yerga tushadigan meteoritlar soni tasodifiy miqdor-
lar bo’ladi.
Tasodifiy miqdorlar ξ, η, ... (yoki X, Y, ...)harflar bilan bel-
gilanadi. Tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan
qiymatlari kichik harflar bilan belgilanadi.
Tasodifiy miqdorlar asosan ikki hil bo’ladi:
1) diskret tasodifiy miqdorlar;
2) uzluksiz tasodifiy miqdorlar.
Agar ξ tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan
qiymatlar soni chekli yoki sanoqli bo’lsa, yani bu qiymatlarning
44

chekli yoki cheksiz ketma-ketlik shaklida yozish mumkin bo’lsa,
ξ diskret tasodifiy miqdor deyiladi.
Masalan, bir shaharda bir yil davomida tug’iladigan o’g’il
bolalar sonini ifodalovchi tasodifiy miqdor diskret tasodifiy
miqdor bo’ladi.
Agar ξ tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan
qiymatlari biror oraliqdagi barcha qiymatlardan iborat bo’lsa,
ξ uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi.
Masalan, mo’ljalga qarab otilgan o’qning mo’ljaldan o’q tek-
kan joygacha bo’lgan masofani ifodalovchi tasodifiy miqdor
uzluksiz tasodifiy miqdor bo’ladi.
2
◦
. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot
qonuni
Faraz qilaylik, ξ diskret tasodifiy miqdor,
x
1
, x
2
, ..., x
n
lar esa uning qabul qilish mumkin bo’lgan qiymatlari bo’lsin.
ξ tasodifiy miqdor to’g’risida to’liq ma’lumotga ega bo’lish u
bilan bog’liq bo’lgan masalalarni sifatli va samarali hal qilishda
yordam beradi. Buning uchun ξ tasodifiy miqdorning qabul
qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini bilishdan tashqari ularni
qanday ehtimol bilan qabul qilishini bilish kerak bo’ladi.
Aytaylik, ξ tasodifiy miqdor x
1
, x
2
..., x
n
qiymatlarini mos
ravishda p
1
, p
2
..., p
n
ehtimollar bilan qabul qilsin:
45

P {ξ = x
1
} = p
1