Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

− 11)
2
·
1
2
+ (20 − 11)
2
·
1
4
= 33
bo’ladi. Bulardan foydalanib
σ(ξ) =
p
D(ξ) =
√
33 ≈ 5, 75
ni topamiz.
4-ta’rif. Agar ξ tasodifiy miqdorning matematik kutil-
ishi 0, disperyasi 1, yani M(ξ) = 0, D(ξ) = 1 bo’lsa, ξ
normallangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Aytaylik, η ixtiyoriy tasodifiy miqdor bo’lib, uning mate-
matik kutilishi a, o’rtacha kvadratik chetlanishi esa σ bo’lsin.
U holda,
ξ =
η − a
σ
tasodifiy miqdor normallangan tasodifiy miqdor bo’ladi.
C Haqiqatan ham bu holda
M(ξ) = M(
η − a
σ
) =
1
σ
(M(η) − a) =
1
σ
(a − a) = 0;
D(ξ) = D(
η − a
σ
) =
1
σ
2
(D(η) + D(a)) =
1
σ
2
· σ
2
= 1
bo’ladi.B
59

5
◦
. Diskret tasodifiy miqdorning asosiy taqsimot
qonunlari
a) Binomial taqsimot qonuni
Bog’liq bo’lmagan n ta tajriba o’tqazilgan bo’lib, har bir
tajribada A hodisaning sodir bo’lish ehtimoli p ga teng bo’lsin.
n ta tajribada A hodisaning sodir bo’lish soni tasodifiy miqdor
bo’lib, uni ξ bilan belgilaylik.
Ravshanki, tajribada A hodisa sodir bo’lmasligi mumkin,
bir marta va h.k, n marta sodir bo’lishi mumkin. Binobarin ξ
tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari
0, 1, 2, 3, ..., n
bo’ladi.
Malumki, n ta tajriba A hodisasining k marta sodir bo’lishi
ehtimoli Bernulli formulasiga ko’ra
P
n
(k) = C
k
n
p
k
q
n−k
ga teng bo’ladi. Shu formuladan foydalanib quyidagilarni topamiz:
P
n
(0) = q
n
; P
n
(1) = C
1
n
pq
n−1
; P
n
(2) = C
2
n
p
2
q
n−2
; ...; P
n
(n) = p
n
.
Natijada quyidagi jadval hosil bo’ladi:
ξ 0
1
2
...
k
... n
p q
n
C
1
n
pq
n−1
C
2
n
p
2
q
n−2
... C
k
n
p
k
q
n−k
... p
n
ξ tasodifiy miqdorning taqsimotini ifodalaydigan bu qonun
binomial taqsimot qonuni deyiladi.
60

Endi bu qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning
matematik kutilishi va dispersiyasini topamiz.
Har bir tajribada A hodisaning sodir bo’lishi soni ξ
i
tasodifiy
miqdor bo’lib, uning taqsimot qonuni quyidagicha:
ξ
i
0 1
p
i
q p
.
Demak, M(ξ
i
) = 0 · q + 1 · p = p.
Ayni paytda ξ = ξ
1
+ ξ
2
+ ... + ξ
n
bo’lgani uchun
M(ξ) = np.
Ravshanki, ξ
2
i
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha
ξ
2
i
0
2
1
2
p
i
q
p
.
Bu tasodifiy miqdorning matematik kutilishini topamiz:
M(ξ
2
i
) = 0
2
· q + 1
2
· p = p.
Natijada ξ
2
i
tasodifiy miqdorning dispersiyasi
D(ξ
i
) = M(ξ
2
i
) − M(ξ
i
)
2
= p − p
2
= p(1 − p) = pq
bo’lib, undan
D(ξ) = D(ξ
1
) + D(ξ
2
) + ... + D(ξ
n
) = npq
bo’lishi kelib chiqadi. Demak,
D(ξ) = npq.
61

ξ tasodifiy miqdorni o’rtacha kvadratik chetlanishi
σ(ξ) =
√
npq
bo’ladi.
b) Puasson taqsimot qonuni.
Malumki, Bernulli sxemasida A hodisasining ehtimoli
P (A) = p
n
bo’lib, n → ∞ da p
n
→ 0 va p
n
=
λ
n
(λ = const)
bo’lganda,
P
n
(k) =
λ
k
k!
e
−λ
.
(1)
Soddalik uchun (1) formulada taqribiy tenglik o’rniga tenglik
belgisi ishlatildi.
Tajriba natijasida A hodisasining sodir bo’lishining soni taso-
difiy miqdor bo’ladi. Uni ξ bilan belgilaylik. Bunda ξ ning
qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari
0, 1, 2, 3, .....
bo’ladi. (1) formuladan foydalanib miqdorlarga mos ehtimol-
larni topamiz:
P {ξ = 0} = e
−λ
; P {ξ = 1} = λe
−λ
; P {ξ = 2} =
λ
2
2!
e
−λ
; ...
Hatijada quyidagi jadvalga kelamiz:
ξ
0
1
2
3
...
p
λ
◦
0!
e
−λ
λ
1!
e
−λ
λ
2
2!
e
−λ
λ
3
3!
e
−λ
...
62

(0!=1) ξ tasodifiy miqdorning taqsimotini ifodalovchi bu qonun
Puasson taqsimot qonuni deyiladi.
Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan ξ diskret tasodifiy
miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topamiz.
Matematik kutilish ta’rifiga ko’ra
M(ξ) = 0 ·
λ
0
0!
e
−λ
+ 1 ·
λ
1!
e
−λ
+ 2 ·
λ
2
2!
e
−λ
+ 3 ·
λ
3
3!
e
−λ
+ ... =
=
∞
P
k=1
k ·
λ
k
k!
· e
−λ
= e
−λ
· λ ·
∞
P
k=1
λ
k−1
(k−1)!
bo’ladi. Ma’lumki,
∞
X
k=1
λ
k−1
(k − 1)!
= e
λ
.
Demak, M(ξ) = λ · e
−λ
e
λ
= λ ga teng.
ξ tasodifiy miqdorning dispersiyasini topish uchun avvalo ξ
2
ning matematik kutilishini topamiz:
M(ξ
2
) =
∞
X
k=0
k
2
·
λ
k
k!
e
−λ
=
∞
X
k=1
k ·
λ
k
(k − 1)!
e
−λ
=
= e
−λ
· λ
∞
P
k=1
λ
k−1
(k−1)!
(k − 1 + 1) =λe
−λ
[λ
∞
P
k=1
λ
k−2
(k−2)!
+
∞
P
k=1
λ
k−1
(k−1)!
] =
λe
−λ
(λe
λ
+ e
λ
) = λ
2
+ λ.
Endi ξ tasodifiy miqdorning dispersiyasini quyidagi formu-
ladan foydalanib topamiz:
D(ξ) = M(ξ
2
) − (M(ξ))
2
= λ
2
+ λ − λ
2
= λ.
63

6
◦
. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar va ularning taqsi-
mot funksiyalari
Ma’lumki, uzluksiz tasodifiy miqdorning qiymatlari biror
(a, b) oraliqni butunlay to’ldiradi. Masalan, nishongacha bo’lgan
masofa uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lib, uning qabul qilish
mumkin bo’lgan qiymatining biror integralni butunlay to’ldiradi.
Ravshanki, bunday tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini
jadval ko’rinishida ifodalab bo’lmaydi.
Tasodifiy miqdor uzluksiz bo’lgan holda, taqsimot funksiya
tushunchasi kiritiladi va u orqali tasodifiy miqdor o’rganiladi.
Aytaylik, ξ uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lib, uning qabul
qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari (a, b) intervaldan iborat bo’lsin.
Biror x haqiqiy sonni olib, ushbu tasodifiy miqdor x dan
kichik bo’lgan qiymatlarni qabul qilishi hodisasini qaraymiz.
Bu hodisani ξ < x kabi belgilaymiz. Uning ehtimoli
P {ξ < x}
olingan x ga bog’liq, ya’ni x ning funksiyasi bo’ladi.
5-ta’rif. Ushbu
F (x) = P {ξ < x}
(1)
funksiya ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyi-
ladi.
Eslatma. Diskret tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot funk-
siyasi yuqoridagidek ta’riflanadi.
64

Misol tariqasida taqsimot qonuni quyidagicha
ξ -1
0
2 2,5
p 0,2 0,3 0,4 0,1
bo’lgan diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini topamiz.
ξ tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiy-
matlar −1; 0; 2; 2, 5 lar sonlar o’qini besh qismga ajratadi.
Aytaylik, x ≤ −1 bo’lsin. Bu holda {ξ < x} mumkin bo’l-
magan hodisa bo’ladi, chunki ξ ning x dan kichik bo’ladigan
qiymatlari yo’q:{ξ < x} = V . Shuning uchun
F (x) = P (V ) = 0
bo’ladi.
Aytaylik, −1 < x ≤ 0 bo’lsin. Bu holda, {ξ < x} =
= {ξ = −1} bo’lib,
F (x) = P {ξ = −1} = 0, 2
bo’ladi.
Aytaylik, 2 < x ≤ 2, 5 bo’lsin. Bu holda {ξ < x} = {ξ =
−1} ∪ {ξ = 0} ∪ {ξ = 2} bo’lib, F (x) = P {ξ = −1} + P {ξ =
0} + P {ξ = 2} = 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9 bo’ladi.
Aytaylik, x > 2, 5 bo’lsin. Bu holda {ξ < x} hodisa
muqarrar hodisa bo’ladi, chunki ξ ning barcha qiymatlari x
dan kichik :{ξ < x} = U. Shuning uchun
F (x) = P (U) = 1
65

bo’ladi.
Shunday qilib tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
F (x) =

















0,
agar x ≤ −1;
0, 2, agar −1 < x ≤ 0;
0, 5, agar 0 < x ≤ 2;
0, 9, agar 2 < x ≤ 2, 5;
1,
agar 2, 5 < x
bo’ladi. Uning grafigi 1-chizmada tasvirlangan.
-
x
6
-1
0.2
0
0.5
0.9
1
2 2.5
F (x)
1-chizma
ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F (x) va uning
grafigidan, ξ ning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari
F (x) funksiyaning uzilish nuqtalari, bu qiymatlarning qabul
qilish ehtimollari esa uzilish nuqtalaridagi F (x) funksiyaning
sakrashidan iborat ekanligi ko’rinadi.
Endi taqsimot funksiya F (x) ning xossalarini keltiramiz.
1-xossa. Taqsimot funksiya F (x) uchun
0 ≤ F (x) ≤ 1
66

bo’ladi.
C Bu xossa taqsimot funksiya ta’rifi va hodisa ehtimoli
uchun 0 ≤ P (A) ≤ 1 bo’lishidan kelib chiqadi.B
2-xossa. F (x) o’suvchi funksiya bo’ladi, ya’ni ixtiy-
oriy x
1
< x
2
tengsizlikni qanoatlantiruvchi x
1
, x
2
lar uchun
F (x
1
) ≤ F (x
2
) bo’ladi.
C Ravshanki, {ξ < x
2
} hodisa {ξ < x
1
} va {x
1
≤ ξ < x
2
}
hodisalar yig’indisiga teng bo’lib, ularning ehtimollari uchun
qo’shish teoremasiga ko’ra
P {ξ < x
2
} = P {ξ < x
1
} + P {x
1
≤ ξ < x
2
}
bo’ladi. Endi F (x
2
) = P {ξ < x
2
}, F (x
1
) = P {ξ < x
1
}, P {x
1
≤
ξ < x
2
} ≥ 0 bo’lishini e’tiborga olib, keyingi munosabatda
P {x
1
≤ ξ < x
2
} = F (x
2
) − F (x
1
),
(2)
ya’ni F (x
1
) ≤ F (x
2
) bo’lishini topamiz.
Natija. Tasodifiy miqdor ξ ning [a, b) yarim intervalga
tushish ehtimoli
P {a ≤ ξ < b} = F (b) − F (a)
(3)
bo’ladi.
Agar ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F (x) funksiya
uzluksiz bo’lsa, tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi.
67

3-xossa. Uzluksiz tasodifiy miqdorning avvaldan beril-
gan qiymatni qabul qilish ehtimoli nolga teng bo’ladi:
P {ξ = x
1
} = 0.
C Yuqoridagi (2) munosabatda x
2
= x
1
+ 4x deb olamiz.
U holda
P {x
1
≤ ξ < x
1
+ 4x} = F (x
1
+ 4x) − F (x
1
)
tenglikda 4x → 0 da limitga o’tsak, unda
P {ξ = x
1
} = 0
bo’lishi kelib chiqadi.B
4-xossa. Uzluksiz tasodifiy miqdorning (a, b), [a, b], [a, b),
(a, b] intervalarga tushish ehtimollari bir xil bo’ladi:
P {a < ξ < b} = P {a ≤ ξ ≤ b} = P {a ≤ ξ < b} =
= P {a < ξ ≤ b}.
5-xossa. Agar ξ tasodifiy miqdorning barcha qabul qili-
shi mumkin bo’lgan qiymatlari (a, b) intervalga tegishli bo’lsa,
u holda x ≤ a bo’lganda F (x) = 0, x ≥ b bo’lganda
F (x) = 1 bo’ladi.
C Aytaylik, x
1
≤ a bo’lsin. {ξ < x
1
} hodisa mumkin
bo’lmagan hodisa bo’lib, P {ξ < x
1
} = 0, ya’ni F (x) = 0
bo’ladi.
68

Aytaylik, x
2
≥ b bo’lsin. Bu holda {ξ < x
2
} muqarrar
hodisa bo’lib, P {ξ < x
2
} = 1, ya’ni F (x) = 1 bo’ladi.B
Natija. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning qabul qi-
ladigan qiymatlari butun sonlar o’qida joylashgan bo’lsa,
F (−∞) =
lim
x→−∞
F (x) = 0, F (+∞) =
lim
x→+∞
F (x) = 1
bo’ladi.
7
◦
. Tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi va un-
ing xossalari
Aytaylik, ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F (x)
differensiallanuvchi funksiya bo’lsin.
6-ta’rif. F (x) funksiyaning hosilasi ξ tasodifiy miq-
dorning ehtimol zichligi (differensial funksiyasi) deyiladi
va p(x) kabi belgilanadi:
p(x) = F
0
(x)
Tasodifiy miqdor ehtimol zichligining xossalarini keltiramiz:
1-xossa. Ixtiyoriy x uchun p(x) ≥ 0 bo’lib,
P {x
1
< ξ < x
2
} =
x
2
Z
x
1
p(x)dx
bo’ladi.
C Ma’lumki, F (x) o’suvchi funksiya. Unda F
0
(x) ≥ 0
bo’lib, p(x) = F
0
(x) bo’lganligidan p(x) ≥ 0 bo’lishi kelib
chiqadi.
69

Ravshanki, Nyuton-Leybnits formulasiga ko’ra
x
1
Z
x
1
F
0
(x)dx = F (x
2
) − F (x
1
)
bo’ladi. Ayni paytda taqsimot funksiyasining 4-xossasi va (2)
munosabatga ko’ra
P {x
1
< ξ < x
2
} = F (x
2
) − F (x
1
)
bo’ladi. Keyingi munosabatlardan
P {x
1
< ξ < x
2
} =
x
1
Z
x
1
p(x)dx
tenglik kelib chiqadi.B
2-xossa.Tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi uchun
+∞
Z
−∞
p(x)dx = 1.
C Xosmas integral ta’rifi va F (x) funksiyaning xossalaridan
foydalanib,
+∞
Z
−∞
p(x)dx =
lim
u→+∞,v→−∞
u
Z
v
p(x)dx =
lim
u→+∞,v→−∞
[F (u)−F (v)] =
= lim
u→+∞
F (u) − lim
v→−∞
F (v) = F (+∞) − F (−∞) = 1 − 0 = 1
ni topamiz.B
70

3-xossa. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F (x),
ehtimol zichligi p(x) bo’lsa, u holda,
F (x) =
x
Z
−∞
p(x)dx
(4)
bo’ladi.
C Ta’rifga binoan
x
Z
−∞
p(x)dx = lim
v→−∞
x
Z
v
p(x)dx
bo’ladi. Ma’lumki,
x
Z
v
p(x)dx = F (x) − F (v), lim
v→−∞
F (v) = F (−∞) = 0.
Bu munosabatlardan foydalanib,
x
Z
−∞
p(x)dx = lim
v→−∞
[F (x) − F (v)] = F (x) − 0 = F (x)
tenglikni topamiz.B
Misol. Ehtimol zichligi
p(x) =
1
π
·
1
1 + x
2
bo’lgan tasodofiy miqdorning taqsimot funksiyasi topilsin.
C (4) formuladan foydalanib topamiz: F (x) =
x
R
−∞
p(t)dt =
1
π
x
R
−∞
dt
1+t
2
=
1
π
arctgt |
x
−∞
=
1
π
arctg x +
1
2
.B
71

8
◦
. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik ku-
tilishi va dispersiyasi
Aytaylik, ξ uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lib, p(x) uning ehti-
mol zichligi bo’lsin.
7-ta’rif. Ushbu
M(ξ) =
+∞
Z
−∞
x · p(x)dx
miqdor ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
deyiladi.
Demak, tasodifiy miqdorning matematik kutilishi xosmas
integral orqali ta’riflanadi va integral yaqinlashuvchi bo’lganda
matematik kutilish mavjud bo’ladi.
Aytaylik, ξ uzluksiz tasodifiy miqdor, p(x) ehtimol zichligi
va M(ξ) shu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi bo’lsin.
8-ta’rif. Ushbu
D(ξ) =
+∞
Z
−∞
(x − M(ξ))
2
· p(x)dx
miqdor ξ uzluksiz tasodifiy moqdorning dispersiyasi deyila-
di.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va disper-
siyasi ham diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va
dispersiyasi xossalari kabi xossalarga ega bo’ladi.
72

Misol. Aytaylik, uzluksiz tasodifiy miqdor ushbu
p(x) =
(
0, 2, agar −2 ≤ x ≤ 3,
0,
aks holda
ehtimol zichligiga ega bo’lsin. Shu tasodofiy miqdorning matem-
atik kutilishi va dispersiyasi topilsin.
C Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi-
ni ta’rifiga ko’ra
M(ξ) =
+∞
Z
−∞
x · p(x)dx =
−2
Z
−∞
x · p(x)dx +
3
Z
−2
x · p(x)dx+
+
+∞
Z
3
x · p(x)dx =
3
Z
−2
x · 0, 2 · dx = 0, 2 ·
x
2
2
|
3
−2
= 0, 5;
D(ξ) =
+∞
Z
−∞
(x − M(ξ))
2
· p(x)dx =
+∞
Z