Ehtimol va uni hisoblash usullari

i 1

nП_i (₁ ,₂ ,...,_s )

1 2
Tushunarliki, ² taksimoti xakidagi masala xam uzgaradi, chunki p_i( , ,..., ) lar uz navbatida

s

tasodifiy kiymatlar bulib, (4) statistikaning asimptotik taksimoti oddiy N₀ gipoteza bilan bir xil kurinishga ega ekanligi uz-uzidan oshkor emas.

R.Fisher (1928) n da ² statistikasi (4) agar ₁,₂,...,_s noma`lum parametrlarning

₁,₂,...,_s baxo kiymatlari ² minimum usuli bilan olingan bulsa, eki ² minimum modifikatsiyasi erdamida gruppalangan tanlanmalar buyicha aniklangan bulsa, k-s-1 erkinlik darajasiga ega bulgan ²- taksimotga ega ekanligini isbotlagan.

Shu bilan birga Fisher agar ₁,₂,...,_s kiymatlar ixtieriy usul bilan aniklangan bulsa, u xolda

R{²_k-s-1x} lim P{ ²  x}  P{ ²

 x}

(5)

ekanligini kursatgan.

n

k s1

 muximlik darajasining ma`lum bir kiymati uchun

^{ 2 ks1;  2k1;} urinli bulganligidan, ² kriteriysining kullanishi kuyidagicha buladi. (4) formula buyicha ² statistik kiymatini xisoblab, bu erda ₁,₂,...,_s kiymatlar biror usul bilan xisoblangan va 

muximlik darajasini tanlab olingandan keyin, ² taksimot jadvalidan ²_k-1; va ²_k-s-1; lar aniklanadi.

Agar <sup> 2

 2k1;</sup> bulsa, N

gipoteza kabul kilinmaydi. Agar ^{ 2}

^{ 2ks1;} bulsa, N

0

0
gipoteza kabul kilinadi.


1 2 s
Agar ^{ 2 k1;  2ks1;} bulsa, u xolda  , ,..., kiymatlarni aniklash uchun ²

minimum usuli eki ² minimum usuli modifikatsiyasi kullaniladi. Bu xolda n da ² statistika k-s-1

erkinlik darajasiga ega bulgan ² taksimotiga egadir. Shu sababdan, agar <sup> 2

f 2ks1;</sup> bulsa, N

0
gipoteza kabul kilinmaydi. Aksincha, agar ^{ 2  2ks1;} bulsa, N gipoteza kabul kilinadi.

0

3. 
   ² kriteriysi uchun interval tanlash.
   

Shungacha kurilgan ² kriteriysining asimptotik nazariyasi tanlanma elementlarini gruppalash tanlanma elementlariga boglik bulmagan xolda aniklanadigan intervallarni itieriy ravishda aniklashda urinlidir. Bu shart intervallar chegarasi tasodifiy kiymatlar ekanligi nazarda tutilmagan xollarda mavjuddir. Odatda amaliet intervallarga bulish chegaralarini aniklash, ba`zida berilgan tanlanmaning umumiy kurinishini aniklashdan iboratdir. Biz intervallarga bulish usullarini muloxaza kilib undan keyin asimptotik nazariyaga ta`sirini kurib chikishimiz kerak. Oldin intervallar chegarasini aniklashni kurib chikamiz. Amalda bu masalaning echimi arifmetik kulaylikka boglik: intervallar uzunliklarda olinadi, chetkilardan tashkari.

Interval uzunligi takriban taksimot dispersiyasi bilan aniklanadi, shunda taksimot xolati markaziy intervalning kaerda bulishini aniklashda erdam beradi. Masalan, biz tanlanma elementlari uchun 6 ta interval tuzishimiz kerak bulganda edi, normal taksimot buyicha tekshirilaetganda, x takribiy kiymati va S² tanlanma dispersiyasini aniklab, x+S_i, i=0,1,2 intervallarning chegaralari sifatida kabul kilardik. U xolda kuyidagi intervallar xosil bulardi:

]-;x-2S], ]x-2S;x-S],]x-S;x],]x-x+S],]x+S;x+2S],]x+2S;+[

Bu tadbir unchalik anik bulmasada, uning erdamida intervallar chegaralarini tasodifiy kiymatlar xoliga keltirish mumkin. Shu bilan birgalikda, xuddi shu usul bilan aniklangan intervallar uchun xisoblangan ² statistika shunday asimptotik taksimotga ega ekanligini oldindan bilishning iloji yuk, xattoki, intervallar oldindan uzgarmas kilib olinganda xam. Uzliksiz taksimotning umumiy xoli uchun kurilgan asimptotik nazariya intervallar chegarasi tanlanma buyicha aniklanganda xam urinli ekanligini Vatson (1959) kursatib bergan.

Shunday kilib, ² statistikaning N₀ gipoteza buyicha asimptotik taksimoti kurilganda intervallar chegaralarining tasodifiyligini xisobga olmasak xam buladi.

4. 
   Intervallarni kurishni teng extimollik usuli.
   

Biz chegaralarni aniklashning optimal usulini kriteriy kuvvati atamalarida aniklashimiz kerak, ular berilgan muximlik darajasi uchun kriteriyga maksimum kuvvat beradigan bulsin.

G. Mann va A. Val`d (1942) shunday taklif kilgan edilar: berilgan K uchun intervallarni

shunday tanlash kerakki, xamma P_i

nazariy extimollar ¹

к

ga teng bulsin. Bu anik va bir kiymatli

protseduradir. U odatdagi usuldan (teng uzunlikdagi intervallar) shunisi bilan fark kiladiki, P_i larning bir xil bulishi uchun jadvallardan foydalanishga tugri keladi. Buni anik amalga oshirish uchun berilgan ma`lumotlar gruppalanmagan bulishi kerak.

Misol. Kuyidagicha tanlanma berilgan:

0,01	0,I	0,17	0,18	0,22	0,22	0,25	0,25	0,29	0,42
0,46	0,47	0,47	0,56	0,59	0,67	0,68	0,70	0,72	0,76
0,78	0,83	0,85	0,87	0,93	0,IV	1,00	0,01	0,01	1,02
1,03	1,32	1,34	1,37	1,47	1,50	1,52	1,05	1,54	1,59
1,71	1,90	2,10	2,35	2,46	2,46	2,50	3,73	4,07	6,03

N₀: dF(x)=e^-xdx, 0x nolinchi gipotezani tekshiramiz.

² uchun biz turtta sinf tashkil etishimiz kerak, deylik. Bir xil uzunlikdagi intervallarga gruppalash kuyidagicha bular edi.

Zi	ni	NPi
]0;0.50]	14	19.7
]0.50;1.00]	13	11.9
]1.00;1.50]	10	7.2
]1.50;+[	13	11.2

P_i ning kiymatlari darajali taksimot jadvalidan olingan. (2)- formuladan ²=3,1 ni aniklaymiz. Erkinlik darajasi 3 ga teng ² taksimot jadvalidan xulosa chikaramizki, muximlik darajasi =0,37 dan kichik xar kanday kriteriy nolinchi gipotezani rad kila olmaydi.

Endi teng extimollik usuli kullanilganda berilganlarni ishlash tartibini kurib chikamiz. K=4 bulganligi uchun bu extimollar 0,250 ga teng. Darajali taksimot jadvali bu xolda intervallar chegarasi uchun 0,228, 0,693, 1,386sonlarni beradi.

Biz kuyidagi jadvalni tuzamiz:

Zi	ni	nPi
]0;0.28]	9	12.5
]0.28;0,69]	9	12,5
]0,69;1.38]	17	12,5
]1.38;+[	15	12,5

Bunda ² statistikani xisoblash oson, chunki (2) kuyidagi kurinishga keltiriladi: