Egri chiziqli integrallar va ularning tatbiqlari

MISOLLAR
1-misol. , ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi.
Yechish. va nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi tenglamadan iborat. Shuning uchun kesmada . Integral ostidagi funksiyadagi - ning o‘rniga - ni qo‘yib va - ning dan gacha o‘zgarishini hisobga olganda, formula yordamida quyidagiga kelamiz.

.
2-misol. , ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - siniq chiziq (6- rasm), bunda
Yechish. Integrallash konturi va kesmalardan iborat, u holda

.



6-rasm
kesma tenglamasi
kesma tenglamasi , shuning uchun



3-misol. ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq.
Yechish. Bu misolda - egri chiziq tenglama bilan berilgan. Bu holda (15) formula o‘rniga, quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin
.
Misol sharti bo‘yicha u holda


4-misol. , ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - nuqtalarni tutashtiruvchi
astroida yoyi (7-rasm).
Yechish. (14) formula yordamida hisoblaymiz
,


7-rasm




5-misol. ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - aylana yoyi
Yechish. Bu integralni (14) formula yordamida hisoblaymiz






Bunda