Egri chiziqli integrallar va ularning tatbiqlari

5-misol. , birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - birinchi chorakda joylashgan, lemniskata yoyi (4-rasm).
Yechish: Bu misolda - qutb koordinatalari orqali berilgan. Shuning uchun formula yordamida hisoblaymiz
,
u holda
.



4-rasm

Bundan yoki ekanligini hisobga olganda (7) formula yordamida quyidagiga kelamiz

6-misol. , birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - yoy sikloidaning birinchi arkasi yoyi (5-rasm),
Yechish: Intgralni (5) formula yordamida hisoblaymiz. Sikloidaning birinchi arkasi uchun yoki , .



5-rasm


(5) formula yordamida quyidagi kelib chiqadi

.
Bunda




7-misol. , birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - chiziq nuqtalarni tutashturuvchi kesma.
Yechish: va nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz

bundan quyidagi parametrik ko‘rinishdagi tenglamaga kelamiz

- parametr gacha o‘zgarganda nuqta kesmada to‘liq o‘zgaradi, ya’ni . U holda

(4) formula yordamida quyidagi kelib chiqadi

.
8-misol. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
nuqtalar bilan chegaralangan. vint chizig‘i yoyi.
Yechish: formula yordamida hisoblaymiz

.

.


Mustaqil yechish uchun misollar
Quyidagi birinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblang.
1. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi. (jav. ).
2. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq. (jav. ).
3. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- egri chiziq, . (jav. ).
4. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- egri chiziq, (jav. ).
5. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq. (jav. ).
6. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq. (jav. ).
7. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- sinusoida yoyi, . (jav. ).
8. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- kosinusoida yoyi, . (jav. ).
9. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- tangensoida yoyi, . (jav. ).
10. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- egri chiziq , . (jav. ).
11. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - birinchi chorakda yotuvchi aylana yoyi. (jav. ).
12. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - yuqori yarim aylana yoyi. (jav. ).
13. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda -
va nuqtalarni tutashtiruvchi . ( ) Arximed spirali yoyi. (jav. ).
14. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- kardioidaning yuqori yarim yoyi. (jav. ).
15. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- lemniskataning yoyi, . (jav. ).
16. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - egri chiziq, . (jav. ).
17. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - birinchi chorakda yotuvchi aylana yoyi. (jav. ).
18. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda -
ellips yoyi, . (jav. .
19. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- sikloidaning birinchi arkasi yoyi. (jav. ).
20. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda - va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi.
(jav. ).
21. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda -
va nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi. (jav. ).
22. birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang, bunda
- , egri chiziq. (jav. ).