Egiluvchanlik shartlari

Ta’rif: Agar ikki sirtning nuqtalari orasida shunday o`zaro ber qiymatli moslik o`rnatilsaki, bu sirtlardagi har qanday ikkita mos egri chiziqning mos yoylari bir-biriga teng bo`lsa, bu sirtlar orasida izometrik moslik o`rnatilgan deyiladi, sirtlarning o`zlari ham o`zalo izometrik sirtlar deyiladi.
sirtlardan birini uzluksiz ravishda egib (deformatsiya qilib), uni ikkinchi sirtga aylantirish mumkin bo`lsa, u holda, bu sirtlar orasidagi izometriyani egilish deb ataymiz.
Sirt cho`zilmaydigan, lekin egiluvchan (elastik) materialdan tayyorlangan holda uni uzmasdan va qatlamasdan egsak, bu sirt ustidagi chiziqlar uzunligi, chiziqlar urasidagi burchaklar, sohalarning yuzlari o`zgarmaydi. Masalan, bir varoq qog`ozni o`rab, uni silindrga yoki konusga aylantirish, qog`ozni egish deyiladi.
Har qanday (analitik) sirtni egib bo`ladimi? Istalgan ikki sirt orasida izometrik moslik o`rnatish mumkinmi? Ikkinchi savolga salbiy javob berishga to`g`ri keladi: sferani (hatto uning juda ham kichik qismini) egib, tekislikka yoyish mumkin emas- sfera bilaan tekislik orasida izometrik moslik yo`q.
Agar sirtning cheksiz cheksiz kichik qismi ko`zda tutilda, uni umuman aytganda, uzluksiz ravishda egish mumkin. Biror, sirt butunicha qaralganda, uzluksiz egilishga yo`l qo`yilmaydigan holler border. Masalan, barcha yopiq kavariq sirtlar (sfera, ellipsoid)- egilmas sirtlardir.
Egiluvchanlik shartlari. sirtlarning mos nuqtalari deb, bir xil egri chiziqli koordinatalarga ega bo`lgan nuqtalarga aytiladi. Shu sababli sirtdagi chiziqqa sirtdagi huddi shunday tenglamalar bilan beriladigan chiziq mos keladi. Qisqaroq qilib aytganda, ikkala sirtning parametrlanishi umumiydir.
Shartga ko`ra, sirtlar izometrik, ya’ni ularning bir-biriga mos yoylari tengdir:
(1)
Bu tenglik istalgan nuqta, ya’ni istalgan uchun bajarilishi lozimligidan, intehral ostidagi ifodalar bir-biriga aynan tengdir:
. Bu shart istalgan yo`nalish uchun bajarilishi kerak, shu sababli bu kvadratik formalarning koeffitsientlari teng:
(2)
Ikki sirtning egiluvchanligi (izometriyasi) uchun zaruriy va yetarli bo`lgan (2) shartlarni topdik: ikki sirtni egib, bir-biriga yotqizish mumkin bo`lishi uchun, ular shunday umumiy parametrlarga ega bo`lishi zarur va yetarliki, buning natijasida sirtlarning mos nuqtalaridagi birinchi kvadratik formalarning tegishli koeffitsientlari teng bo`lsin.
Bu shartning zaruriy bo`lishi isbotlandi. Ularning yetarli ekanligi ham ravshan, chunki (2) shartlar bajarilganda, ulardan (1) ga qaytish oson, bu esa sirtlarning izometrikligini bildiradi.
Qongruent (teng) sirtlar albatta izometrikdir: bu hol o`z-o`zidan ravshan bo`lib, diqqatga loyiq emas. Biz hozir shakl jihatdan turli bo`lsa-da, izometrik (bir- biriga yotqizilishi mumkin) bo`lgan sirtlarning misolini keltiramiz.