Egamqulov

3) Differensial tenglamaning o’ng tomoni bo’lgan hol.
27-misol. tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish. Avval bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Uning xarakteristik tenglamasi ko’rinishda bo’lib, , ildizlarga ega. Shuning uchun uning umumiy yechimi ỹ .
Berilgan tenglamaning xususiy yechimini topishda 2-jadvaldagi 5-holning
a) ko’rinishidan foydalansak, bunda ekanligini e’tiborga olsak ko’rinishda bo’ladi. Bunda A va B noma’lum bo’lgan o’zgarmas koeffitsientlar. Bu noma’lum koeffitsientlarni topish uchun , , larning qiymatlarini berilgan tenglamaga qo’ysak:
tenglikni hosil qilamiz. Bir xil trigonometrik funksiyalar oldidagi koeffitsientlarni tenglab, A va B larni aniqlash uchun quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: U holda berilgan tenglamaning xususiy yechimi , umumiy yechim:
.


4. O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglama xususiy yechimini topishning ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarni variatsiyalash usuli

Bir jinslimas tenglama xususiy yechimini topishning umumiy usuli ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarni variatsiyalash usulini ko’rsatamiz.

Agar berilgan tenglama 2-tartibli: (2.1) ko’rinishda bo’lsa, bir jinsli (2.1) tenglamaning umumiy yechimi (2.1) ko’rinishda bo’ladi.
(2.1) dagi va ni x ning hozircha noma’lum funksiyalari deb hisoblab, (2.1) tenglamaning xususiy yechimini (2.1) ko’rinishda izlaymiz.
(2.1) ni differensiallab: ni hosil qilamiz.
va funksiyalarni (2.2) tenglik bajariladigan qilib tanlab olamiz.
Agar bu qo’shimcha shartni e’tiborga olsak, u holda hosila: ko’rinishda bo’ladi. Endi bu ifodadan ni topamiz: .
larni(2.1)tenglamaga qo’yib, yoki tenglikni hosil qilamiz.
Birinchi ikkita qavs ichida turgan ifodalar nolga aylanadi, chunki va bir jinsli tenglamalarning yechimlari.
Demak, keyingi tenglik (2.3) ko’rinishga keladi.
Shunday qilib, va funksiyalar (2.2) va (2.3) tenglamalar sistemasini qanoatlantirsa, ya’ni (2.4) bo’lsa, (2.1) funksiya (2.1) tenglamaning yechimi bo’ladi. Ammo bu sistemaning determinanti chiziqli erkli va funksiyalarning Vronskiy determinanti bo’lgani uchun nolga teng bo’lmaydi. Demak, sistemani yechib, va ni x ning ma’lum funksiyalari sifatida aniqlaymiz: , .
Integrallab, , tengliklarni hosil qilamiz, bunda va integral o’zgarmaslaridir.
va ning hosil qilingan ifodalarini (2.1) ga qo’yib,ikkita ixtiyoriy o’zgarmas va miqdorlarga bog’liq bo’lgan integralni, ya’ni bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimini topamiz.
Agar berilgan tenglama n-tartibli: (2.5) ko’rinishda berilgan bo’lib, xususiy yechim (2.6) ko’rinishda bo’lib, (2.7) almashtirishlarni e’tiborga olinib, berilgan (2.5) tenglama yechimi topiladi.