Egamqulov

2. Birinchi tartibli chiziqli tenglama.
Agar differensial tenglama izlanayotgаn y funksiya va uning hosilasi ga nisbatan chiziqli (ya`ni birinchi darajali) bo`lsa bunday tenglama chiziqli tenglama deyiladi. Birinchi tartibli chiziqli tenglama (1.1) ko`rinishga ega.
Birinchi tartibli chiziqli tenglamani quyidagi usullarning biri bilan yechishimiz mumkin:
1-usul. O`zgarmasni variatsiyalash usuli.
Bunda (1.1) tenglamaning yechimini (2.2) ko`rinishda izlaymiz. U vaqtda (1.1) tenglama C(x) noma`lum funksiyaga nisbatan o`zgaruvchilarga ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:
Uning umumiy yechimi: bunda C – ixtiyoriy o`zgarmas. Topilgan C(x) ifodaga (1.2) ni qo`ysak, (1.1) ning umumiy yechimini topamiz: (1.3)


2-usul. O`rniga qo`yish usuli.
(1.1) chiziqli differensial tenglamaning yechimi (1.4) Bernulli almashtirilishi bilan o`zgaruvchilari ajraladigan ikkita tenglamaga keltiriladi. U holda va (1.1) tenglama ushbu ko`rinishga keladi. (1.5)

Yordamchi o`zgaruvchilardan biri, masalan, v ixtiyoriy tanlab olinganidan foydalanib, uni shunday tanlaymizki, natijada qavs ichidagi ifoda nolga teng bo`lsin, ya`ni v sifatida o`zgaruvchilari ajraladigan tenglamaning xususiy yechimlaridan biri ni olamiz. ifodani (1.5) tenglamaga qo`yib, u funksiyaga nisbatan tenglama hosil qilamiz: Bu tenglama ham o`zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo`lib, uning umumiy yechimi ni topib, (1.1) tenglamaning umumiy yechimi ni hosil qilamiz.

1-misol. differensial tenglamaning umumiy integrali topilsin.
Yechish. Berilgan tenglamani ko`rinishga keltiramiz.
1-usul. O`zgarmasni variatsiyalash usuli.
Bizning misolda
Shu sababli Demak, umumiy yechim
2-usul. O`rniga qo`yish usuli. deylik, u holda va berilgan tenglama
(1.6) ko`rinishga ega bo`ladi. tenglamani yechib, uning eng sodda xususiy yechimini hosil qilamiz: (1.6) tenglamaga u ni qiymatini qo`yib, ushbu tenglamani hosil qilamiz: ; Bu tenglamadan v ni topamiz.
Shunday qilib, izlanayotgan umumiy yechim quyidagicha bo`ladi:
3. Bernulli tenglamasi


(2.1) , bunda P(x) va Q(x) –x ning uzluksiz funksiyalari (yoki o`zgarmas miqdorlar) hamda n≠0 va n≠1 (aks holda chiziqli tenglama hosil bo'lar edi).
(2.1) tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi va quydagi almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltiriladi.
Tenglamaning barcha hadlarini ga bo'lamiz. (2.2)
Endi, (2.3) almashtirishni bajaramiz.U holda
Bu qiymatlarni (2.2) tenglamaga qo`ysak, chiziqli tenglama hosil bo'ladi:
Buning umumiy integralini topib hamda (2.3) almashtirishni e`tiborga olib, Bernulli tenglamasining umumiy integrali (yechimini ) topamiz.