Дополнительные лекции по курсу «Компьютерная томография»

Дискретные алгоритмы реконструкции томограмм

Получена дискретизация по углу и проекциям. Дискретизация по углу всегда принципиальна (всегда, если есть шаг поворота приемника и источника), но всегда стоит вопрос: сколько брать ракурсов и как проводить дискретизацию. В идеальном случае нам известен спектр объекта, который определяет источник дискретизации в пространственной области. Максимальные пространственные частоты томограммы совпадают с максимальными частотами проекции согласно теореме о центральном слое.

Взаимосвязь линейной и угловой дискретизации:

Введем следующие параметры:
D – диаметр объекта;
d – интервал пространственной дискретизации, шаг в проекции;
 – интервал угловой дискретизации, т.е. шаг по углу;
_max – максимальная пространственная частота томограммы;
, где – число отсчетов в каждой проекции (количество направлений зондирования) по оси .
Интервал дискретизации определяется формулой: (по теореме Кательникова), так как согласно теореме о центральном слое, максимальная пространственная частота в проекции равна максимальной пространственной частоте в томограмме.
Если у нас есть спектр объекта, то мы хотим восстановить максимальную пространственную частоту _max. Оценим величину : изображение будет повернуто на . Необходимо передать нужные пространственные частоты (шаг дискретизации должен описывать все пространственные частоты)

должно быть таким, чтобы при обратном преобразовании Фурье, хватало отсчетов для реконструкции объекта диаметром :



(оценка, какое число ракурсов необходимо, чтобы передать пространственные частоты спектр томограммы).
В реальной томограмме число отсчетов 512512 (для двухмерной), для трехмерной - много больше.

Дискретные алгоритмы:

1. Алгоритм дискретного обратного проецирования фильтрованных проекций

дискретная свертка:
если задана на дискретной сетке , где ; ;
 число отсчетов по ракурсу; , то


необходимо использовать некое окно в частотной области, которое позволило бы избежать неустойчивости, которая происходит при вычислении подобной свертки.
При реализации данного алгоритма необходимо сделать следующие операции:

1. 
   Дискретная фильтрация проекций (дискретные решения некорректной обратной задачи).
   
2. 
   Дискретное обратное проецирование (поворот фильтрованной обратной проекции в плоскости на соответствующий угол поворота).
   
3. 
   Суммирование всех проекций по углу.
   

Рассмотрим более подробно пункт 2):
Проекция представляет собой набор дискретных отсчетов. По числу артефактов дискретное обратное проецирование очень существенно:

Дискретная сумма:

М – число ракурсов;
 – шаг по углу;
d – шаг по р;
N – число отсчетов;
m – порядковый номер ракурса;
n – порядковый номер отсчета

Для каждого ракурса необходимо пересчитать в . На декартовую сетку необходимо спроецировать функцию, заданную в полярных координатах. Решается эта проблема методом итерации. Используются два метода итераций:

• 
  по ближнему значению;
  
• 
  линейный.