Донишгоҳи давлатии Хуҷанд ба номи академик Б. Fафуров

Мисоли 2.7. Аз рӯи ифодакунии касри занҷирӣ ирратсионалии квадратиро ёбед:
Аз рӯи шарт ҷадвали касрҳои мувофиқро тартиб медиҳем:

			1	2	4	6	w
	0	1	1	3	13	81	81w+13
	1	0	1	2	9	56	56w+9

Бо формулаи ифодаи вобаста ба қисми пурра дар намуди зерин

аст:

аз ин ҷо ё ки мешавд.
Муодиларо ҳал карда, меёбем:

яъне - адади мусбат аст, пас мо решаи мусбат мегирем ва дар натиҷа ҳосил мекунем:

Мисоли 2.8.

			2	2	1	1	w
	0	1	2	5	7	12	12w+7
	1	0	1	2	3	5	5w+3

Мисоли 2.9. Ба касри занҷирӣ паҳн кунед.

Боз бо тарзи боли меёбем:





яъне,

Ҳосил мекунем:

Мисоли 2.10. Барои ададе , касри мувофиқро ёбед, ки аз ин қимати ирратсионалнокӣ хурд аз 0,00001 фарқ кунад.
Ҳалли инро бо чунин тарз меёбем:

Пайдарпаии махраҷҳо:

Бино бар ин


аз хурд аз 0.00001 фарқ мекунад.
Мисоли 2.11. Ба намуди касри занҷири оред.






Мисоли 2.12. Бо касри занҷирӣ паҳн кунед.

_{Ҳал :}

Азбаски аст, касри занҷирӣ даврии омехта мешавад, яъне касри занҷирӣ чунин мешавад.

Мисоли 2.13.
Мисоли 2.14.
Мисоли 2.15. Касри ададии -ро ба касри занҷирӣ ҷудо кунед ва касрҳои мувофиқи онро ёбед.





Касрҳои мувофиқро дар намуди ҷадвал меорем:

		4	2	2	1	1	2
Pk	1	4	9	22	31	53	137
Qk	0	1	2	5	7	12	31

Мисоли 2.16. Адади ирратсионалии -ро бо касрҳои занҷирӣ ифода кунед.




Ҳамин тавр мешавад.

Боби III. Татбиқи касрҳои занҷирӣ барои муқоисаҳо.

3.1. Истифодаи касрҳои занҷирӣ барои ҳалли муқоисаҳои номаълумдор.

Агар бисёраъзогї бо коэффитсиентњои бутун бошад, он гоњ конгруентии номаълумдор номида мешавад.

Дар њолати адади -ро дараљаи конгруентї меноманд.
Њалли баробарбаќия гуфта, чунин адади -ро меноманд, ки он муќоисаро ќаноат кунонад. Агар њал мављуд бошад, он гоњ њалли баробарбаќия мешавад.
Масалан, -ро адади 1 ќаноат мекунонад, пас , яъне онро ададњои 1,4,7,10,13,16,... њам ќаноат мекунонад.
Аз њамин сабаб, агар њал дошта бошад, он гоњ ин њалњоро дар байни ададњои системаи тафриќњои пурра кофтан лозим меояд.
Муќоисаи дараљаи якум

Муќоисаи дараљаи якумро, ки аъзои озодаш (бо аломати муќобил) ба тарафи рост кўчонида шудааст, ба намуди

(4.1)
овардан мумкин аст.
Агар бошад ва , он гоњ муќоиса -то њал дорад.
Дар њолати муќоиса ѓайриимкон мебошад, бинобар ин вай њал надорад.
Агар дар (4.1) бошад, он гоњ ё бо ду усул њал мешавад, ки дар ин љо -функсияи Эйлер, -миќдори њосили таќсим дар алгоритми Евклид ва -сурати касри муносиби пеш аз охир аст.
Агар бошад, он гоњ конгруентиро ба ихтисор карда, њосил мекунем: .
Агар њалли он бо ёрии яке аз усулњои пешнињод шуда сурат гирад,шавад, он гоњ њалњои конгруентии додашуда ададњои



мешаванд.
Дар охир ќайд мекунем, ки бо баробарќувва аст, пас њар як муодилаи номуайяни дараљаи якуми дуномаълума ба конгруенти дараљаи якумии якномаълума мубаддал мешавад.
Яканд мисолњои конкретиро дида мебароем, ки онњо бо истифода аз касрњои занчирц њал карда мешаванд.
Мисол 4.1. Муќоисаи њал карда шавад:
Њал. Азбаски (3,7)=1 аст, чунин муќоиса њосил мегардад:
, чунки аст. Њамин тавр, њалли умумї ин тавр мешавад:

Мисол 4.2. Муќоисаро бо ёрии касрњои муносиб њал кунед:
Њал: Њалли муќоиса намуди зеринро дорад: . Њисоб мекунем:

Барои мо дар љадвали касрњои муносиб фаќат сурати он кифоя аст.

q			2	1	2	2
p	0	1	2	3	8	19

n=3,p_n-1=8

Аз ин љо
Санљиш:
Мисол 4.3. Њисоб кунед:
Њал:
Аммо 7 ба 5 таќсим намешавад. Муќоиса њал надорад.
Мисол 4.4. Њалњои бутуни муодилаи зерин ёфта шавад:

_Њал: Аз њосил мекунем:

Барои 11 ва 16 КТУ-ро аз алгоритми Евклид меёбем:

Аз ин љо (11,16)=1, n=2 ва b=156 мебошад. Љадвали касрњои муносибро тартиб медихем:

q				1	2	5
p		0	1	1	3	16

Маълум мешавад, ки аст. Бинобар ин , яъне аст. Ќимати -ро ба гузошта, -ро меёбем:

Љавоб:
Мисоли 4.5. Муќоисаи -ро њал мекунем.
Њал. Њарду тарафи муќоисаро индексиронида аз хосиятњои индексњо истифода бурда пайдо мекунем:

аз љадвали индексњо истифода мебарем



ё

Мебинем, ки муқоисаи дараҷагӣ ба муқоисаи намуди ома два онро аз алгоритми Евклид ва сурати касрҳои занҷирӣ истифода намуда ҳал мекунем:







-273-ро бо 30 муќоиса намуда њосил мекунем:

ки он њалли ягонаи муќоисаи мо мебошад.
Мисоли 4.6. Муодиларо њал кунед: ё ки
Њал.
Муќоисаро нисбат ба њал мекунем:

q		1	1	7	1	3
P	1	1	2	15	17	66

Аз ин љо , аз љадвали антииндексњо -ро меёбем, ки он њалли талаб кардаи мо мебошад,

3.2. Татбиқи касрҳои занҷирӣ барои сохтани солнома (календар)

Тартибдодани календари аниқи аз чандин асрҳо низ масъалаи мураккаб ба ҳисоб меравад. Барои тартиб додани солнома(календар), асри яке пешаз мелоди файласуф машҳур юнони Юлием Цезар даст задаст. Фақат соли 1864 астраноми рус И. Медлер солномаи (календари) аниқро бо ёрии касрҳои занҷири тартиб додааст. Вай солро як бутун гирфта бад ба шабона рӯз тақсим намудааст.

Пайдарҳамии касрҳои мувофиқи ин касри занҷири чунин аст:

Касри мувофиқи тартиби якумро мегирим.

Дар ин ҳолат барои як сол як рӯз “зиёд” боқи мондост, ки вай бо календари юлиани, ки соли 46 –и пеш аз мелод аз тарафи Юлием Цезар татиб додааст мувофиқ меояд. Ҳар чор сол бояд як шабонарӯз зиёд монад аз 365 шабонарӯз. Ин рақами солҳо ба рақами чор тақсим шаванда аст. Дарози миёнаи соли юлиани нисбати ҳақиқӣ 11 дақиқаю 4 сония зиёдтараст. Соли 1582 байни солшумории ҳақиқӣ ва юлиани 10 шабонарӯз фарқ намуд, ки Григорий XII ҳамон вақта Папаи Рим нисбати солнома (календар) реформа гузаронд. Бо сол шумори григоряни солҳои оддӣ ва соли дароз (соли кабиса) бо қоидаи зерин муайян карда шудаанд: агар солшумори бо сифр хотима ёфта бошанд (солҳои 1700, 1800, 1900-ум – оддӣ, локин 2000 – соли кабиса) ёки ба чор тақсим шавад соли кабиса. Солшумории григоряни аз соли дақиқи ба 26 сония фарқ менамояд. Ин солшумори дақиқтараст, ки хатогии он дар 3300сол як шабонарӯзро ифодаменамояд.
Агар касри мувофиқи сеюмро гирем чӣ: он гоҳ дар 33 сол 8 рӯзи “зиёдаки” ҳосил мешавад, ки ин намуди солшумориро 1079 аз тарафи математики форс забон Умари Хайём дохил карда шудааст. Ин нисбати солшумории григоряни низ шаффофтар(аниҷтар) аст. Агар касри мувофиқи чорум -ро гирем, он гоҳ ҳамингуна солшумори (календари) ҳосил мешавад, ки нисбати ҳақиқӣ беҳад наздик буда дар чк сол чк дақиқа фарқ менамояд.
Хулоса аз он иборат аст, ки намуди каноникии касрҳои занҷирӣ дар намуди ифода шуда

Дар он ададҳои ратсионали касри занҷирии охирнок ва ададҳои ирратсионалӣ бошанд касрҳои занҷирӣ беохирро ифода менамоянд. Дар замони муосир татбиқи касрҳои занҷирӣ дар ҳисоб куниҳои решаҳои квадрати ва логарифмҳо натиҷаҳои аниқ ва муайянро медиҳад. Ғайраз он касрҳои занҷирӣ барои тартиб додани алгоритми ҳисоб намудни муодилаҳои тариби дараҷаи дилхоҳ низ васеъ истифода мебаранд. Аппарати касрҳои занҷирӣ бо мувофиқият дар ҳалли бисёри масъалаҳои, ки дар он қиймати дақиқи тақрибӣ дилхоҳ ададҳои ратсионали талаб карда мешаванд истифода мебаранд.

Хулоса

Фанни назарияи ададҳо ба соҳаҳои гуногун хеле васеъ татбиқшаванда буда омузиши он барои донишҷуён муҳим мебошад, ки аз ҳамин сабаб ин рисолаи хатм ба фанни назарияи ададҳо ва яке, аз мавзӯи муҳими он бахшида шуд.

Рисолаи иҷрошудаи мазкур “Ифода кардани ададҳои ирратсионалӣ дар касрҳои занҷирӣ”бахшида шуда ба чунин хулоса омадан мумкин аст, ки касри занҷирии беохирро ҳама вақт ба ягон адади ирратсионалӣ овардан мумкин аст, ё ки баръакс дилхоҳ адади ирртсионалиро ба касри занҷирии беохир овардан мумктн аст.
Мафњумњои асосие, ки дар онњо касрњои занҷирии беохир иштирок мекунанд ин аз ёфтани калонтарин таќсимкунандањои ададњо сар мешавад ва инчунин барои ба касрњои занҷирии беохир ва охирнок овардан алгоритми Евклид васеъ истифода бурда шуд.
Аввал касрњои бефосила ва алоќаи он бо алгоритми Евклидро дида баромадем ва дар он сурат ва махраљи касри муносиб муайян ва фањмо шуд. Дар давоми он барои пурра фањмидани сурат ва махраљи касрњои муносиб муодилаи номуайяни дараљаи якуми дуномаълума ва њалли он бо ёрии касрњои занљирї нишон дода шуд.
Дар бобҳои рисолаи мазкур татбиқи касрҳои занҷирӣ барои муқоисаҳои номаълумдор ва истифодаи касрҳои занҷирӣ барои ҳалли муқоисаҳо теоремаи Эйлер оид ба ёфтани адади бо ёрии касрҳои занҷирӣ то саҳеҳии лозима омӯхта шуда пурра исбот карда шудааст.
Умуман омўхтани касрњои занҷирии охирнок ва беохир ва ифодакунии ададњои ирратсионалї бо онњо зарурї мебошад.
Бинобар ин дар кори мазкур асосан ба ифодакунии ададњои ирратсионалї ба касрњои занҷирӣ ва таќрибї њисобкунии онњо то сањењии додашуда омўхта шудааст.
Дар охири рисолаи хатми мазкур мисолҳои мушаххас ва муқоисаҳои номаълумдор, ки барои ҳалли онҳо аз касрҳои занҷирӣ истифода шудааст ва бо ёрии касрҳои занҷирӣ бо тезӣ ва осон ҳал мешаванд оварда шудааст.
Рисолаи хатмро донишҷӯён ва омӯзгорон метавонанд дар дарсҳои фанни назарияи ададҳо ҳамчун дастур истифода баранд ва ба хулосае омадам, ки омӯхтан ва давом додани корҳои илмӣ аз назарияи ададҳо бе омухтани касрҳои занҷирӣ ғайриимкон мебошад.

Феҳристи адабиётҳо.

1. 
   Арнольд, В.И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2000. – 40 с.
   
2. 
   Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра: Пособие для учащихся 10-11 кл. /Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.
   
3. 
   Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.
   
4. 
   Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.
   
5. 
   А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.
   
6. 
   Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.
   
7. 
   А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 84.
   
8. 
   Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.
   
9. 
   Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 93.
   
10. 
    И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.
    
11. 
    Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение»,
    
12. 
    Виноградов И.М. Асосњои назарияи ададњо.- Душанбе: Маориф, 1990.
    
13. 
    Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теория чисел.-Москва, 1964.
    
14. 
    Казачек Н.А., Перлатов Г.Н., Виленкин Н.Я., Бородин А.И. Алгебра и теория чисел.-Москва: Просвещение, 1984.
    
15. 
    Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел.- Москва: «высшая школа», 1979.
    
16. 
    Эльнатанов Б.А. Машќњо бо нишондодњои методї аз назарияи ададњо.- Душанбе,1974.
    
17. 
    Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
    
18. 
    Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
    
19. 
    Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
    
20. 
    Нечаев В.И. Числовые системы М., Просвещение-1975.
    
21. 
    Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. «Алгебра и теория чисел» ч.1. М.: 1974.
    
22. 
    Велинкина Н.Я. «Алгебра и теория чисел» М.: 1984.
    
23. 
    Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» М.: 1975.
    
24. 
    Нечаев В.А. «Задачник практикум по алгебре» М.: 1978.
    
25. 
    Титов В.У. “Сборник упражнений по теории чисел” М.:1964