Diofant tenglamalari

1-teorema: Agar (a,b)=d>1 bo‘lib c( )d bo‘lsa, u holda

ax+by=c (1)

tenglama butun sonlarda yechimga ega emas.

Eslatma: “(a,b)=d” belgi d soni a va b sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi; “c d” belgi c soni d ga qoldiqsiz bo‘linadi; c( )d esa c soni d ga qoldiqsiz bo‘linmasiligini bildiradi.

Isboti: Agar ( ) juftlik (1) tenglamaning butun yechimi bo‘lsa, ya‘ni bo‘lsa, u holda (a,b)=d>1 bo‘lgani uchun tenglikning chap qismi d ga bo‘lindi, ammo c( )d bo‘lgani uchun tenglik o‘rinli emas.

2-teorema: Agar (1) tenglamada (a,b)=d>1 bo‘lib, c d bo‘lsa, u holda (1) tenglama

(2)

tenglamaga teng kuchli, bu yerda

3-teorema: Agar (a,b)=d bo‘lsa, u holda

ax+ by=d (3)

tenglamani qanoatlantiruvchi x va y butun sonlar mavjud.

Isboti: Qoldiqli bo‘lishning Evklid algoritmiga ko‘ra

(4)

(4) tengliklardan quyidan yuqoriga qarab nazar tashlasak,

ekanligini ko‘ramiz.

Agarda (a,b)=d deb olsak, u holda (4) tengliklarda yuqoridan quyiga qarab nazar tashlasak,

ekanligini ko‘ramiz. Demak, bo‘lib, (a,b)=d bo‘lgani uchun ax+by=d tenglamani qanoatlantiruvchi x va y sonlar mavjudligi (4)dan kelib chiqadi.

Haqiqatan ham:

1-misol. 1232 va 1672 sonlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini berilgan sonlar orqali chiziqli ifodalang.

Yechish: 1672=1232*1+440, 1232=440*2+352, 440=352*1+88, 352=88*4+0 tengliklardan 88=440-352*1=440-(1232-440*2)*1=440*3-1232*1=(1672-1232*1)*3-1232*1=

=1672*3-1232*4=1672=3+1232*(-4). Demak, 1672*3+1232*(-4)=88.

Bundan sonlar 1672x+1232y=88 tenglama yechimlari ekanligi ayon bo‘ladi.

4-teorema: Agar (a,b)=1 bo‘lsa, u holda

ax+by=1 (5)

tenglama hech bo‘lmaganda bitta yechimga ega.

5-teorema: Agar (a,b)=1 bo‘lib, ( ) juftkiklar (1) tenglamani qanoatlantirsa, u holda bu tenglamaning barcha yechimlarini

(6)

formula bilan berish mumkin, bu yerda t – ixtiyoriy butun son.

Isboti: (1) tenglama va ( ) uning yechimiga ko‘ra,

Tenglamani yozamiz. Bundan yoki

Buning chap tomoni butun son bo‘lgani uchun o‘ng tomoni ham butun son bo‘lishi lozim.

Demak, , t- ixtiyoriy butun son. Bu holda

6-teorema: Agar (a,b)=1 bo‘lsa, u holda (1) tenglamaning barcha butun sonli yechimlarini (5) tenglamaning ( ) yechimlari orqali

(7)

formula bilan ifodalash mumkin.

Isboti:

2-misol. 37x-256y=3 tenglamani butun sonlarda yeching.

Yechish: 256=37*6+34; 37=34*1+3; 34=3*11+1 bo‘lgani uchun
1=34-3*11=34-(37-34*1)*11=34*12-37*11==(256-37*6)*12-37*11=37*(-83)-256*(-12).
ya‘ni 37*(-83)-256*(-12)=1 dan va c=3 bo‘lganligi uchun (7) ga ko‘ra berilgan tenglamaning yechimlari x=-249—256t; y=-36-37t dan iborat.

2. Endi ax+by=c tenglamaning yechimlarini toppish uchun kasrni munosib kasrlar orqali amalgam oshirish mumkinligini ko‘rsatamiz. Evklid algoritmidan foydalanamiz:

(4)

bo‘lish jarayonida hosil bo‘lgan qoldiqlar

tengsizliklarni qanoatlantiradi. Hosil bo‘lgan tengliklarni

tengliklar bilan almashtirilib, kasrning zanjirli kasrlar yoyilmasidan iborat bo‘lgan

Ifodani hosil qilamiz. Zanjirli kasrning ba‘zi bog‘iinlarini qoldirib, qolgan bog‘inlarini tashlab yuborishdan hosil bo‘lgan kasrlarni, ya‘ni munosib kasrlarni hosil qilamiz.

va hokazo munosib kasrlarni hosil qilamiz. Hosil qilinishiga ko‘ra:

k – munosib kasr, ni

ko‘rinishida olib, munosib kasrlarning surat va maxrajlarini hosil qilish qoidalarini ko‘rsatamiz.

Bu tengliklardan

munosabatlarni hosil qilamiz. Matematik induksiya metotidan foydalanib, barcha lar uchun

munosabatlar bajarlishini ko‘rsatamiz. Munosib kasrlarning aniqlanishiga ko‘ra munosib kasrda ni ga almashtirish natijasida munosib kasr munosib kasrga o‘tadi. Induktiv mulohazalarga ko‘ra,

dan

bundan esa

Matematik induksiya metodidan foydalanib, barcha lar uchun

munosabatlar o‘rinli ekanligi ravshan bo‘ldi. Shu bilan birga,

Ammo

bo‘lgani uchun quyidagi tengliklar zanjirini hosil qilamiz:

Shunga ko‘ra

kasrning zanjirli kasrlar yoyilmasida barchasi bo‘lib n ta bog‘inlar mavjud, n- munosib kasr berilgan kasr bilan ustma – ust tushadi. Demak, k=n bo‘lganda ya‘ni

Umumiy maxrajga keltirib, yoki c ga ko‘paytirilib, tenglikka kelamiz, bu yerda

tengliklar bilan aniqlanadigan juftlik ax+by=c tenglamani qanoatlantirishini ko‘ramiz. Demak, quyidagi teorema o‘rinli:

7-teorema: Ushbu

tengliklar bilan aniqlanuvchi juftlik ax+by=c tenglamaning yechimi bo‘ladi. Uning barcha yechimlari esa

formulalar orqali beriladi.

3-misol. 127x-52y+1=0 tenglamani yeching.

Yechish:

bundan 127-52*22+1=0 berilgan tenglama bilan taqqoslab

va shunga ko‘ra uning yechimlari x=9+52t, y=22+127t, formula bilan berilishini ko‘ramiz.

3. Yuqori darajali diofant tenglamalarini yechish. Yuqori darajali aniqmas tenglamalarni butun sonlarda yechishning konkret usullari bo‘lmasa-da, biz ba‘zi usullar: qoldiqlar nazariyasidan, qisqa ko‘paytirish formulalaridan hamda mantiqiy fikrlardan foydalanamiz:

a) qoldiqlar nazariyasidan foydalanish: har qanday sonning kvadratini 3 ga yoki 4 ga bo‘lishda qoldiqda 0 yoki 1 sonlari hosil bo‘ladi.

Haqiqattan ham:

Ayniyatlar fikrimizni tasdiqlaydi.

Endi tenglamalarni yechish uchun namunalar keltiramiz.

4-misol. tenglamani yeching.

Yechish: Berilgan tenglamani ko‘rinishida yozamiz. Sonning kvadratini 4 ga bo‘lishda qoldiqda 0 yoki 1 qolgani uchun ifodani 4 ga bo‘lishda qoldiqda 1,2,3 sonlari hosil bo‘ladi. Bunday tenglikning bo‘lishi mumkin emas, demak, berilgan tenglama yechimga ega emas.

5-misol. tenglamani natural sonlarda yeching.

Yechish: Berilgan tenglamani ko‘rinishida yozsak, tenglamaning chap tomonida doimo 3 ga karrali, o‘ng tomonida esa 3 ga bo‘lishda doimo 1 qoldiq bo‘ladi. Bunday tenglikning bo‘lishi mumkin emas va berilgan tenglama yechimga ega emas.

b) qisqa ko‘paytirish formulalaridan foydalanish: bu holda formulalaridan foydalanib misollar yechiladi.

6-misol. tenglamani natural sonlarda yeching.

Yechish: Tenglamani ya‘ni ko‘rinishida yozib,

sistemalarini hosil qilamiz. Bularni yechib, x=5, y=6 yechimni topamiz.

v) zanjirli kasrlarga ajratish bilan yechiladigan misollardan namunalar keltiramiz.

7-misol. tenglamani yeching.

Yechish: Tenglamani

shaklda yozib, zanjirli kasrlarga ajratamiz. Natijada ketma-ket:

tengliklarga kelamiz. Oxirgi tenglikdan ya‘ni tenglama yechimga ega ekanligini ko‘ramiz.

g) mantiqiy fikrlashlar tenglamalarning butun sonlardagi yechimini topishning eng asosiy yo‘lidir. Masalan, mashhur “Ferma masalasi”: kishilar 2000-yilgacha har qanday natural soni uchun tenglama natural sonlarda yechimga ega emas ekanligini isbotlash masalasiga asosiy e‘tiborni qaratganlar. Hozirda bu masala yechimi ma‘lum. Biz “Ferma muammosini”ning xususiy holi bo‘lgan quyidagi misolni qaraymiz.

8-misol. tenglamani natural sonlarda yeching.

Yechish. Agar (x,y)=d deb faraz qilsak, bo‘lib, ekanini ko‘ramiz. Shuning uchun (x,y)=1 deb faraz qilamiz. dan , (a,b)=1 deb olsak, . Bundan esa deb fikr yuritishimiz mumkin. Demak, , deb olinsa, x=uv, va bundan esa tenglamaning yechimlarini topamiz. Agar u=2m, v=2m deb olinsa, yechim ko‘rinishini oladi, bu yerda m>n natural sonlardir.

Endi o‘quvchilar mustaqil bajarishlari uchun quyidagi misollarni taklif etamiz.

4. Mustaqil yechish uchun tenglamalar.

1. Qoldiqlar nazariyasidan foydalanib, quyidagi tenglamalarni butun sonlarda yeching.

2. Quyidagi tenglamalarni natural sonlarda yeching.

3. Quyidagi tenglamalarni natural sonlarda yeching.