Differensial tenglamalar

3§.Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish
Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish.

Dirixle masalasining izlanayotgan yechimi chegaralangan bo’lsin deb hisoblaymiz . x va ξ –yarim fazoning nuqtalari bo’lib , ξ'=( ξ₁ , …. , ξ_n-1, ξ_n) nuqta ξ_n=0 tekislikka nisbatan ξ nuqtaga simmetrik nuqta bo’lsin .

g(x, ξ) =-E(x, ξ') funiksiya bo’ladi . Bundan tashqari ξ_n =0 da E(x, ξ)- E(x, ξ')=0 bo’ladi .U holda

G(x, ξ) = E(x, ξ)- E(x, ξ') (40)

funiksiya tekshirilayotgan yarim fazo uchun Grin funiksiyasidan iborat bo’ladi . Dirixle masalasining izlanayotgan u(x) yechimi uchun (31) formula o’rinli deb hisoblaymiz . Shunday ham bo’ladi , barcha x€ D lar uchun |x| → ∞ da ushbu

Tengsizliklar bajarilsa , bunda A va h –musbat sonlar .

Bunga mos ravishda yetarli katta uchun y_n =0 tekislikda berilgan φ (y₁, . . . , y_n-1) funiksiya ham shartni qanoatlantirishi kerak .(40) Grin funiksiyasining (31) dagi normal bo’yicha hosilasini hisoblaymiz :

Bunga asosan

Bu ifodani (31) formulaga quyib , yarim fazo x_n >0 uchun chegaraviy sharti
(40)

Bo’lgan Dirixle masalasining yechimini beruvchi quyidagi Puasson formulasini hosil qilamiz :

(41)

yoki

(42’)
Bunda berilgan φ(ξ) funiksiya uzluksiz chegaralangan . (42’) formula bilan aniqlangan u(x) funiksiya Laplas tenglamasini qanoatlantirishi ravshan , bu funiksiyaning (41) shartni qanoatlantirishini ko’rsatamiz .

Eⁿ fazoda ixtiyoriy R radiusli shar Q_R uchun

formula o’rinlidir ((17) formulani hosil qilishga qaralsin ). Shu bilan birga
.

Bularni e’tiborga olib belgilashni kiritsak , R→∞ da ushbu

tenglikka ega bo’lamiz. x_n>0 bo’lgani uchun almashtirishni bajarsak ,quyidagi tenglikni hosil qilamiz :

Oxirgi integralda

almashtirish bajaramiz . U holda

Chunki Demak ,

(43)

Agar y=(y₁, . . . , y_n-1) , x_n>0 yarim fazo chegarasidagi biror nuqta bo’lsa , (42’) va (43) ga asosan

(44)
Tenglikni hosil qilamiz .σ (y) orqali y nuqtaning

Shart bilan aniqlanuvchi atrofini belgilab olamiz . φ(ξ) funiksiya uzluksiz bo’lgani uchun δ ni yetarli kichik qilib tanlab olish mumkinki , σ (y) atrofiga tegishli bo’lgan

Ξ=( Ξ₁, . . ., Ξ_n-1) nuqtalar uchun

tengsizlik bajariladi . (44) tenglikni σ (y) atrof va uning tashqarisi bo’yicha olingan ikki integralning yig’indisi sifatida yozib olamiz , so’ngra bo’lganligi sababli

bo’lganda

Bu yerda M_δ –δ ga bog’liq bulgan biror musbat o;zgarmas .

Agar x_n ni yetarli kichik deb hisoblasak ,

,

ya’ni x_n>0 yarim fazodagi x nuqta uning chegarasidagi y nuqtaga intilganda u(x)→φ(y) .