Differensial tenglamalar

3-masala . Quyidagi (17)

(22)

Dirixle masalasining yeching .

Yechish. (22) ni (21) ga quyib , quyidagini hisoblaymiz :

(23)

Bu yerda

Bundan , chegirmalar haqidagi teoremadan foydalanib

(24)

ni topamiz .

Buni (23) ga quyamiz :

Shunday qilib , (17) (22) masalaning yechimi

ko’rinishda bo’ladi.

Yarim fazoda (1) Laplas tenglamasi uchun (n=3) Dirixle masalasini qaraymiz :

Bu masalaning yechimi quyidagi ko’rinishda

Ifodalanadi ,bu yerda funksiya ushbu formula orqali aniqlanadi

Bu funksiyani ζ bo’yicha differinsiallab , so’ng ζ=0 quyib ,quyidagiga

ega bo’lamiz .

Demak , yarim fazoda (z>0) (1) Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining yechimi

(25)

ko’rinishda bo’ladi .

4-masala . Quyidagi

Dirixle masalasini yeching .

Yechish. Quyilgan Dirixle masalasining yechimi quyidagi

formuladan topiladi .Bu integralning hisoblash uchun almashtirishlarni bajarib ,

(26)

ni hosil qilamiz ,ifodadagi qolgan 3 ta integrallar integral ostidagi funksiyalarning toqligiga ko’ra nolga teng bo’ladi .

Endi ushbu integralni hisoblaymiz:


Chunki

Oxirgi integralda almashtirishlarni bajarib,

(27)

ga ega bo’lamiz .

(27) formulaga chegirmalar haqidagi Koshi teoremasini qo’llaymiz :

Bundan va (26) dan quyilgan Dirixle masalasining yechimini

ko’rinishda topamiz .