Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

2.3.2-misol.Ifodani soddalashtiring.

Yechilishi.

ni o’zgaruvchi deb quyidagi funksiyani qaraymiz. Uni differensiallab ga ega bo’lamiz. Bundan bo’lishi kelib chiqadi. ga bog’liq emas, ammo va ga bog’liq bo’lishi mumkin. Oxirgi tenglik ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lgani uchun, unda deb ni topamiz.

bo’lganligidan bo’lishini olamiz. Demak



2.3.3-misol.Yig’indini toping.

Yechilishi. Quyidagi yordamchi yig’indini qaraymiz:

Bundan

tengliklarni olamiz. maxraji , ga teng bo’lgan hadli geometrik progressiya yig’indisidan iborat bo’lganligi sababli bo’ladi. bo’lganligidan

2.3.4-misol. Tengsizlikni yeching.

Yechilishi. funksiyaning o’sish va kamayish oraliqlarini topamiz. bo’lib kvadrat uchhadning diskriminanti doimo manfiy va oldidagi koeffitsient musbat bo’lgani uchun doimo bo’ladi. Shunday qilib funksiya sonlar o’qining barcha nuqtalarida uzluksiz va o’suvchi. Shuning uchun uning grafigi sonlar o’qini faqat bitta nuqtada kesadi. ekanini hisobga olib tengsizlikning yechimi oraliq bo’lishini topamiz.

2.3.5-misol. Quyidagi tensizlikni isbotlang.

funksiyani qaraymiz.

Bu yerda bo’lganda ko’rinishda bo’ladi.

Faraz qilamiz bo’lsin, u holda va

Shuning uchun . Bu yerdan shuni ko’rish mumkinki funksiya da o’zgarmas songa teng.

Misol uchun bu o’zgarmasni topish uchun ni hisoblaymiz;

Shunday qilib, bu tengsizlik barcha lar uchun isbotlandi.

2.3.6-misol. Tengsizlikni isbotlang.

Shunday qilib,

U holda yuqoridagi geometrik progressiyaning ta hadi yig’indisi uchun formulaga asosan hosil qilamiz. Bu yerda . Shunday qilib,

ga asosan isbotlanishi kerak bo’lgan tenglikka kelamiz.

Yuqorida isbotlangan tenglikni bir nechta misolda ko’rishimiz mumkin.

Masalan bo’lganda,

bo’lganda esa,



2.3.7-misol. Yig’indini toping

Bu yerda elementdan tadan o’rin almashtirishlar soni.

Yechilishi. , ko’phadni qaraymiz.

Ushbu ko’phadni dagi qiymati uchun (1) kelib chiqadi.

funksiyani qaraymiz.

larning har biri nomanfiy . Nyuton binomi formulasiga asosan

ga ega bo’lamiz. U holda va ko’rinishga kelamiz.

2.3.8-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechilishi. Sistemani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

Sistemaning 1-tenglamasidan har bir uchun sistemani yechimi bo’ladigan sonlar juftligi mavjud. (2.3.2) tenglamalar sistemasida sonlar juftligi tenglamani qanoatlantiradi.

belgilash olamiz. U holda sistemaning 1-tenglamasi ko’rinishga keladi. Sistemaning 2-tenglamasida ning o’rniga ni va ning o’rniga ni qo’yamiz. Natijada yoki

Shunday qilib, , u holda (2.3.3) tenglama dan katta ildizga ega emas. soni tenglamaning ildizi bo’lishini ko’rishimiz mumkin.

Bundan esa berilgan tenglamalar sistemasi faqat va yechimga ega bo’ladi.

Haqiqatan ham va sonlar juftligi (2.3.1) tenglamalar sistemasini yechimi ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.