Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

2.2 Egri chiziq fazoviy bo’lgan hol

Bu holning yassi egri chiziq holiga to’la o’xshash bo’lgani uchun unga qisqacha to’xtab o’tamiz.

Tekislikda ish ko’rganimizdek, fazoviy egri chiziqning o’zgaruvchi nuqtasi koordinatalarini yordamchi o’zgaruvchi- parametrning funksiyalari sifatida berilishi ham mumkin:

Bunda koordinatalari bu tenglamalar bilan aniqlangan nuqta, o’zgarganda qaralayotgan egri chiziqni chiza boradi, deb faraz qilinadi.

Fazoviy chiziq (2.2.1) berilgan holda, urinmaning ta’rifi tekis egri chiziq urinmasi ta’rifining aynan o’zidek bo’ladi. Biz egri chiziqning hosilalari bir vaqtda nolga aylanadigan maxsus nuqtalarni qaraymiz. ning aniq bir qiymatiga mos keluvchi nuqtani olaylik va bu nuqta oddiy nuqta bo’lsin, ga orttirma bersak, ga boshqa bir nuqta mos keladi. Kesuvchi ning tenglamasi:

ko’rinishda bo’ladi, bunda o’zgaruvchi koordinatalar. Agar barcha maxrajlarni ga bo’lsak, bu tenglamalarning geometrik ma’nosi o’zgarmaydi:

Agar bu tenglamalar bo’lgandagi limitda aniq bir ma’noga ega bo’lsa, bu bilan kesuvchi, ya’ni urinma limit vaziyatining mavjudligi aniqlanadi. Biroq limitda biz shularni hosil qilamiz:

Bu tenglamalar chindan ham to’g’ri chiziqni ifoda etadi, chunki maxrajlarining hammasi nolga teng emas. Shunday qilib, chiziqning har bir oddiy nuqtasida urinma mavjud va shu tenglamalar bilan ifoda etiladi. Maxsus nuqta uchun urinma haqidagi masala ochiq qoladi.

(2.2.2) dagi tenglamalarning barcha maxrajlarini ga ko’paytirib, ularni quyidagicha yozish qulayroq:

Agar urinmaning koordinata o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini orqali belgilasak, yo’naltiruvchi kosinuslar quyidagicha ifoda qilinadi:

Radikal oldidagi ikki ishoradan birini tanlash, urinma uchun aniq yo’nalishni beradi.

Misol tariqasida vint chizig’ini olaylik (2.2.1-chizma)

2.2.1-chizma

Bu holda

bo’lib, urinma tenglamalari:

shaklni oladi. Urinmaning yo’naltiruvchi kosinuslari:

Bu yerda demak, .

Agar vint chiziqni to’g’ri doiraviy silindrga o’ralgan deb tasavvur etsak, vint chiziq silindrning hamma yasovchilarini o’zgarmas burchak ostida kesib o’tadi deyish mumkin.

Tekislikdagi egri chiziq singarifazoviy chiziq uchun nuqtaning vaziyatini aniqlovchi parameter sifatida ixtiyoriy tanlab olingan nuqtadan hisoblanuvchi ma’lum yo’nalishli vatarni olish mumkin. Urinmaning musbat yo’nalishi sifatida yoylar o’sish yo’nalishi olinadi. Agar egri chiziqning oddiy nuqtasi ustida so’z borsa, uning uchun musbat yo’nalgan urinmaning yo’naltiruvchi kosinuslari quyidagicha ifodalanadi:

2.3 Differensial hisobning boshqa tatbiqlari

Hosilaning elementar matematika masalalarini yechishga tadbiqlari ko’lami juda keng. Masalan hosiladan algebraik ifodalarni soddalashtirish, ko’paytuvchilarga ajratish, ayniyatlarni isbotlash, yig’indini topish, tenglama, tengsizlik, sistemani yechish, tengsizliklarni isbotlash, parametrli masalalarni yechish, funksiyani tekshirish va h.k da foydalanish mumkin.

Biz quyida ushbu tatbiqlardan ba’zilarini qaraymiz.