Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

Funksiya ekstremumini topishda uning yuqori tartibli hosilalaridan foydalanish.

Yuqorida keltirilgan ekstremumning yetarli sharti sinalayotgan nuqtaning o’ng va chap tomonidagi nuqtalarda funksiya hosilasi ning ishorasini aniqlash bilan ifodalanadi. Ko’pincha, nuqtaning atrofida ning ishorasini aniqlash qiyin bo’ladi. Qaralayotgan funksiya nuqtada yuqori tartibli hosilalarga ega bo’lsa, hosilalarning nuqtadagi qiymatlarining ishorasiga qarab funksiyaning ekstremumini tekshirish mumkin.

funksiya nuqtada hosilalarga ega bo’lib, biror son uchun

(1.2.3)

bo’lsin.

a)Agar n-juft son, ya’ni bo’lib,

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya nuqtada maksimumga,

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.

Haqiqatan ham, funksiyaning nuqta atrofida ushbu

.

Teylor formulasidan yuqoridagi (1.2.3) shartlarni e’tiborga olib topamiz:

bunda da . Keyingi tenglikni quyidagicha

)= , (1.2.4)

yozib olamiz. Endi va da bo’lgani sababli ning ga yetarli yaqin qiymatlarida lar uchun ) ) ning ishorasi ning ishorasi kabi bo’ladi.

Ravshanki, bo’lganda bo’lib, da ayirmaning ishorasi ning ishorasi bilan bir xil bo’ladi. Demak, bo’lganda uchun , ya’ni bo’lib, funksiya nuqtada maksimumga ega bo’ladi.

bo’lganda esa uchun , ya’ni bo’lib, funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.

b)Agar n-toq son, ya’ni bo’lsa, funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lmaydi. Haqiqatan, ifoda

uchun

uchun

tengsizliklar o’rinli bo’lib, nuqtaning ) atrofida ishora saqlanmaydi.

Bu holda (1.2.4) dan ko’rinadiki, ning ishorasi har qanday bo’lganda ham ayirmaning ishorasi o’zgaradi. Bu esa nuqtada ekstremum yo’qligini anglatadi.