Davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

2.2. Kvadrat tengsizliklarni grafiklar yordamida o’qitish metodikasi
Kvadrat tengsizliklarni yechishning eng qulay usullaridan biri bu grafik usuldir. Ushbu rejamizda kvadrat tengsizliklari qanday grafik bilan yechilganligini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, biz ushbu usulning mohiyati nima ekanligini muhokama qilamiz. Va keyin algoritm beramiz va kvadrat tengsizliklarni grafik usulda yechish misollarini ko'rib chiqamiz.
Grafik usulning mohiyati
Odatda tengsizliklarni hal qilishning grafik usuli bitta o'zgaruvchidan u nafaqat kvadrat tengsizliklarni, balki boshqa turdagi tengsizliklarni echishda ham foydalaniladi. 
Tengsizliklarni hal qilishning grafik usulining mohiyati quyidagilar: tengsizlikning chap va o'ng tomonlariga to'g'ri keladigan y = f (x) va y = g (x) funktsiyalarni ko'rib chiqing, ularning grafikalarini bitta to'rtburchaklar koordinatalar tizimiga joylashtiring va ularning qaysi birining grafigi boshqasidan past yoki yuqoriroq ekanligini aniqlang. Bu bo'shliqlar

• 
  g funktsiyasining grafigi ustidagi f funktsiyasining grafigi f (x)> g (x) tengsizlikning yechimlari,
  
• 
  f funktsiyasining grafigi g funktsiyasining grafigidan past bo'lmagan f (x) ≥g (x) tengsizlikning echimi,
  
• 
  g funktsiyasining grafigi ostidagi f funktsiyasining grafigi f (x) tengsizlikning yechimlari,
  
• 
  f funktsiyasining grafigi g funktsiyasining grafigidan yuqori bo'lmagan f (x) ≤g (x) tengsizlikning yechimi hisoblanadi.
  

F va g funktsiyalar grafigining kesishish nuqtalarining abssissalari f (x) = g (x) tenglamaning yechimi deymiz.
Kvadrat tengsizlikni yechish uchun a · + b · x + c (≤,>, ≥).
Biz ikkita funktsiyani joriy qilamiz: birinchi y = a · + b · x + c (bu holda f (x) = a · + b · x + c) kvadrat tengsizlikning chap tomoniga to'g'ri keladi, ikkinchisi y = 0 (bu holda g (x) = 0) tengsizlikning o'ng tomoniga to'g'ri keladi. kvadratik funktsiya f - parabola va grafigi doimiy funktsiyasi g – Ox absisissa o'qiga to'g'ri keladigan chiziq.
Bundan tashqari, tengsizliklarni hal qilishning grafik usuliga ko'ra, bitta funktsiyaning grafigi boshqasidan yuqorida yoki pastda joylashgan qaysi vaqt oralig'ida tahlil qilish kerak, bu bizga kvadrat tengsizlikka kerakli echimni yozishga imkon beradi. Bizning holatlarimizda, biz Ox o'qiga nisbatan parabolaning o'rnini tahlil qilishimiz kerak.
A, b va c koeffitsientlarining qiymatlariga qarab quyidagi bir nechta variantlarni keltirib o’tamiz: Ox o'qini ikkita nuqta bilan kesishgan absissasi x bo'lgan parabolani ko'ramiz . a koeffitsienti ijobiy bo'lganida (u parabola shoxlarini yuqoriga yo'naltiradi) va qiymati musbat bo'lgan holatga to'g'ri keladi. kvadrat trinomialning diskriminanti a · + b · x + c (trinomial ikkita ildizga ega, biz ularni x deb belgilab qo'ydik) , va biz bu x ni qabul qildik₁ , chunki Ox o'qida abscissa x bilan nuqta mavjud₁ x nuqtaning chap tomonida₂ ) Agar siz o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lishni istasangiz, u holda parabolani tuzing y = −x - 6, uning koeffitsienti a = 1> 0, D = ­- 4 · a · c = ·4 · 1 · (−6) = 25> 0, x₁= −2, x₂=3

Va endi qisqacha: a> 0 va D = −4 · a · c> 0 (yoki D koeffitsienti uchun D '= D / 4> 0).

• 
  a · + b · x + c> 0 bo'lgan kvadrat tengsizlikning yechimi (−∞, x)₁) ∪ (x₂,+∞) yoki boshqa belgida x, x> x₂ ,
  
• 
  kvadrat tengsizlikni yechib + b · x + c≥0 bu (−∞, x)₁] ∪ [x₂, + ∞) yoki boshqa x nuqtasida₁ , x≥x₂ ,
  
• 
  a · + b · x + c bo'lgan kvadrat tengsizlikning echimi (x)₁, x₂) yoki boshqa yozuvda x₁ ,
  
• 
  a · + b · x + c≤0 kvadrat tengsizlikning yechimi [x₁, x₂] yoki boshqa yozuvda x₁≤x≤x₂ ,
  

bu erda x₁ va x₂  a + b · x + c va x kvadrat trinomialning ildizlari₁ .

a> 0 va D = 0 uchun esa

• 
  a · + b · x + c> 0 bo'lgan kvadrat tengsizlikning yechimi (−∞, x)₀) ∪ (x₀,+ ∞) yoki boshqa belgida x ≠ x₀ ,
  
• 
  a · + b · x + c≥0 kvadrat tengsizlikning yechimi (−∞, + ∞) yoki boshqa x∈R belgida,
  
• 
  a · + b · x + c kvadrat tengsizligi yechimlari yo'q (parabola Ox o'qidan pastda joylashgan intervallar mavjud emas),
  
• 
  a = + b · x + c≤0 kvadrat tengsizligi x = x yagona yechimga ega (sizga teginish nuqtasini beradi)
  

A va D = 0 uchun

• 
  a · + b · x + c> 0 kvadrat tengsizligi yechimiga ega emas, chunki a = 0
  
• 
  + b · x + c≥0 kvadrat tengsizligi x = x yagona echimga ega₀ ,
  
• 
  a · + b · x + c tengsizlikning yechimi (−∞, x₀) ∪ (x₀, + ∞) yoki boshqa belgida x ≠ x₀ ,
  
• 
  a · + b · x + c≤0 kvadrat tengsizlikning yechimi barcha haqiqiy sonlarning yig'indisi (−∞, + ∞) yoki boshqa x∈R belgida,