Chiziqli tenglamalar sistemasi umumiy tushunchalari

Misol.. YUqorida berilgan (2) chiziqli tenglamalar sistemasini kengaytirilgan matritsani qo‘llash usulida eching.
Echish. CHiziqli tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasini tuzamiz.

Dastlab elementar almashtirishlar orqali kengaytirilgan matritsadagi A matritsani uchburchak ko‘rinishga keltiramiz. Buning uchun birinchi satrdagi elementlarni 2ga ko‘paytirib ikkinchi satrga qo‘shamiz

Endi birinchi satr elementlarini -1 ga ko‘paytirib uchinchi satrga qo‘shamiz.



Natijada ni hosil qilamiz.
Endi asosiy diagonaldan yuqoridagi elementlarni nolga aylantiramiz(3-satrni dastlab 5ga ko‘paytirib 2-satrga so‘ng 2ga ko‘paytirib 1- satrga qo‘shamiz. Keyin 2-satrni -1ga ko‘paytirib 1-satrga qo‘shib yakuniy natijani olamiz :

Demak, yakuniy natija:

Sistema echimi

Gauss usuli.
Gauss usuli mohiyati shundaki bunda elementar almashtirishlar tufayli sistemadagi noma’lumlar birin ketin yo‘qotiladi.
Eslatib o‘tamiz(5 betga qarang), bizga qo‘yidagi
(1)
chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Dastlab (1) sistemaning kengaytiril-gan matritsasini tashkil etamiz:

Elementar almashtirishlar yordamida bu matritsani pog‘onasimon ko‘rinishga keltiramiz

SHu o‘rinda pog‘onasimon matritsaning turli shakllarini taxlil qilib o‘taylik:
a) b ) v)

1 - rasm.

1) Dastlab holni ko‘raylik. Bu holda chiziqli tenglamalar sistemasi kengaytirilgan matritsasi bayroqcha ko‘rinishga ega bo‘ladi(1-rasm, a)holi). U holda chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda emas degan xulosa qabul qilinadi. Haqiqatan, bunda raqamli tenglamaning ozod hadi noldan farqli bo‘lgan holda hamma koeffitsientlari nol bo‘lib qoldi va bu ziddiyatli munosabatni ifodalaydi. Endi bo‘lsin. Bunda ikki holatni e’tiborga olgan holda xulosa qabul qilinadi.

2) CHiziqli tenglamalar sistemasi noma’lumlari soni n va tenglamalar soni r o‘zaro teng. Bu holda kengaytirilgan matritsa elementar almashtirishlar qo‘llanilgandan so‘ng uchburchak ko‘rinishga ega bo‘lib qoladi(1-rasm, b)holi). Boshqacha aytganda kengaytirilgan matritsa qo‘yidagi ko‘rinishga keltirilgan:

Ushbu kengaytirilgan matritsaga mos sistema

Oxirgi n - tenglamadan ni aniqlaymiz. So‘ngra uning aniqlangan qiymatini n-1 - tenglamaga qo‘yib ning qiymatini topamiz. Ushbu jarayonni davom ettirib ketma-ket qolgan noma’lumlarni aniqlaymiz. Va nihoyat topilgan noma’lumlarning aniqlangan qiymatlarini birinchi tenglamaga qo‘yib ning qiymatini topamiz. Demak, n= r holda chiziqli tenglamalar sistemasi aniqlangan va yagona echimga ega bo‘ladi.

3) Agar chiziqli tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenglamalar sonidan katta bo‘lsa(n>r). CHiziqli tenglamalar sistemasi kengaytirilgan matritsasi trapetsiya ko‘rinishni oladi(1-rasm, v)hol). Bunda sistemaning oxirgi tenglamasi . o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga olgan chiziqli tenglamaga aylanib qoladi. Ushbu tenglamada o‘zgaruvchini qolganlari orqali ifodalaymiz va ifodasini r-1 tenglamaga qo‘yamiz.Undan ni lar orqali ifodalab tenglamaga qo‘yamiz. SHu tariqa jarayonni dovam ettirsak o‘zgaruvchilarning o‘zgaruvchilar orqali ifodalangan munosabatlariga ega bo‘lamiz:

Olingan oxirgi sistemada uzgaruvchilarga ixtiyoriy o‘zgarmas qiymatlar berish natijasida har gal sistemaning echimlarini hosil qilamiz. uzgaruvchilarga ixtiyoriy o‘zgarmas qiymatlar berish jarayonida ko‘rib turganimizday cheksiz ko‘p echimlar to‘plamini hosil qilinadi. Demak, bu holda sistema cheksiz ko‘p echimga ega degan xulosa qabul qilinadi.