Chiziqli tenglamalar sistemasi umumiy tushunchalari

Misol. CHiziqli tenglamalar sistemasini eching.

Echish. CHiziqli tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasini tuzamiz.

Elementar almashtirish almashtirishlar orqali (dastlab 1-sartning -2ga ko‘paytirilgani 2-satrga qo‘shildi,so‘ngra 1-satrning -3ga ko‘paytirilgani 3-satrga qo‘shildi) qo‘yidagiga ega bo‘lamiz:
ili
Ko‘rinib turibdiki bu 1-rasmdagi v)holga mos. Demak, dastlabki berilgan chiziqli tenglamalar sistemasi qo‘yidagi sistemaga teng kuchli:

Bu sistemaning ikkinchi tenglamasida ni orqali ifodalaymiz va uni birinchi tenglamaga qo‘yib undan ni topamiz. Natijada qo‘yidagiga ega bo‘lamiz:


x₂ va x₄ ga ixtiyoriy qiymatlar beramiz, masalan, va .Natijada berilgan chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy echimlarini topamiz:
.
CHiziqli tenglamalar sistemasini echishning Gauss usuli har qanday sistema uchun qo‘llanishi mumkin bo‘lgan ”universal” usul. Ammo ko‘rib o‘tganimizday bu usul uzoq davom etishi mumkin bo‘lgan, ma’lum ma’noda murakkab arifmetik amallarni o‘z ichiga oladi. Natijada esa, oxir oqibatda shunday bo‘lishi mumkinki, sistema birgalikda emas-echimi yo‘q degan xulosani qabul qilishga to‘g‘ri keladi. Qilingan mehnat esa besamara bo‘lib qoladi. Xush, bu kungilsizlikni chetlab o‘tish iloji yo‘qmikan? degan xaqli savol to‘g‘iladi. Ushbu muammoni XIX asr o‘rtalarida Berlin universiteti professori Leopold Kroneker (1823 - 1891) muvofaqichtli hal etdi. Muammo echimi rang tushunchasiga borib taqalar ekan. Quyida shu xususda so‘z yuritamiz