Числовые ряды

Учебное пособие

Составила.Макарчук Н.И.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные понятия. Сходимость ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u_1, u₂,…,u_n … , соединенных знаком сложения
u₁+u₂+…+u_n+…= u_n (*)
Чисела u_1, u₂,…,u_n …называются членами ряда, а u_n- общий член ряда (или n -й член ряда).
Ряд ( *) называется заданным, если задан его общий член ряда u_n=f(n), (n=1,2,…), т.е. задана функция f(n) натурального аргумента.
Например, ряд с общим членом u_n= имеет вид: +…

Труднее (сложнее) по нескольким первым членам ряда написать общий член. Эта задача может иметь бесконечно много решений, но иногда удается найти самое естественное решение.

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

S₁=u₁,

…….


называются частичными суммами ( ).


Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е. .
Число S называется суммой ряда.

Если конечного предела последовательности частных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Классический пример. Исследовать сходимость геометрического ряда, т.е. ряда составленного из членов геометрической прогрессии
.
Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии q ряд сходится и при каких значениях знаменателя прогрессии – расходится.
Из школьного курса алгебры известно, что , где S - n-ая частичная сумма ряда, q – знаменатель прогрессии, q .
Возможны случаи:
1). Если , то .
= , т.е. ряд сходится и его сумма равна .

2). Если , то , следовательно, , и ряд расходится.

3). Если q=1, то ряд имеет вид a+a+a+…+a+…, и его частичная сумма , , т.е. ряд расходится.

4). Если , то при четном n частная сумма , при n нечетном . Следовательно, не существует, и ряд расходится.