Числовые ряды

3⁰. Интегральный признак сходимости.
Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. , функция определенная при , непрерывная, невозрастающая и
Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .
(Признак принимается без доказательства).
Пример 1.
Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .
Пусть . Функция при , а значит и при , положительна и невозрастающая, точнее убывающая. Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла . Имеем несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом = . Если то = = [ ] = , данный ряд расходится
Если то = [ ] = =
= если , ряд расходится и
= , если , ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом
(при q = < 1). Этот ряд сходится, т.к. q < 1.
Начиная со второго члена, все члены данного ряда меньше членов сходящегося геометрического ряда ( ).
На основании признака сравнения 1⁰ ряд сходится.


Пример 3. Исследовать сходимость ряда (1).
Решение. Сравним данный ряд (1) с расходящимся гармоническим рядом (2) . Для исследования сходимости ряда(1) воспользуемся предельным признаком сравнения 2⁰. Т.к. = ( ) = =2 .
Но ряд (2) – расходящийся гармонический ряд, поэтому данный ряд (1) тоже расходится.

Нестандартность применения признаков сравнения заключается в подборе соответствующего «эталонного» ряда, и иногда требуется преобразование рядов (отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на числа и т.п.)

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения: