Числовые ряды

Итак, геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при .

В этом примере мы установили сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и известной формулой для n-ой частичной суммы. Но очень часто трудно найти компактную формулу для , значит для .

В дальнейшем мы будем выяснять сходимость ряда, используя признаки сходимости. Но прежде выясним, для чего нужно и важно знать сходится ли ряд, даже если мы не умеем находить его сумму.

Рассмотрим сходящийся ряд u₁+u₂+…+u_n+…. Разность между суммой ряда и его частичной суммой называется n- ым остатком ряда. Остаток ряда в свою очередь есть сумма бесконечного ряда, обозначим её . Имеем = . Исходный ряд (по условию) сходится, т.е. . Следовательно, как угодно мала, если n достаточно велико. Т.о. мы всегда имеем возможность приближенно подсчитать сумму исходного ряда, взяв достаточно большое число n первых членов.

Однако большую трудность представляет выяснение величины возникающей ошибки. Иногда можно оценить величину ошибки.
Напомним, что расходящийся ряд суммы не имеет.
Свойства сходящихся рядов.


1 . Если ряд u₁+u₂+…+u_n+… сходится и имеет сумму , то ряд
u₁+ u₂+…+ u_n+… (где также сходится и имеет сумму .


Доказательство: , (см. свойства пределов числовой последовательности).


2⁰. Если ряды u₁+u₂+…+u_n+… и v₁+v₂+…+v_n+… сходятся и их суммы
соответственно равны , то ряд
сходится и его сумма равна .
Доказательство: ( = + = .


3⁰. Если ряд сходится, то сходится ряд, полученный из данного путем
отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.


Доказательство: Пусть дан сходящийся ряд u₁+u₂+…+u_n+… . Выбросим из него конечное число членов (например, , на их место поставим нули). Тогда при n>15 частичные суммы обоих рядов отличаются на постоянное слагаемое . И если существует предел частной суммы одного ряда , то существует частная сумма второго ряда , т.к. . Тогда = = = .


Следствие. Если сходится ряд, то сходится и любой его остаток, и наоборот.
Это означает, что ряд сходится.
Ряд называется n – ым остатком исходного ряда u₁+u₂+…+u_n+ .Если обозначить остаток через = , то сумму ряда можно представить как .