Числовые ряды

Знакочередующиеся ряды

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительные, то отрицательные:

или в общем случае
), (*)
где .
Теорема ( признак Лейбница).
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю, т.е. u_n = 0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: .


Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов : .
Эта последовательность возрастающая, т.к. с ростом увеличивается число положительных слагаемых, и ограничена, т.к. :
.
На основании теоремы из теории пределов (если монотонно возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел) последовательность частичных сумм имеет предел S =S, т.е. ряд сходится, что требовалось доказать.
Заметим, что перейдя пределу в неравенстве , получим .
Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов : . =S+0=S.
Т.к. знаки у членов ряда чередуются, то и , т.е. частичные суммы, приближаясь к своему пределу, будут по очереди то больше, то меньше суммы ряда.
Если перед всем рядом (*) поставить знак «-», то получим , т.е. .

Рассмотрим ряд с произвольным распределением знаков их членов.

Теорема. (Достаточный признак сходимости).
Если ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд, т.е. сходимость ряда влечет сходимость .


Доказательство. Рассмотрим частичные суммы ряда: ,
- сумма положительных членов ряда среди первых n членов ряда,
- сумма абсолютных величин всех отрицательных членов ряда среди первых n членов ряда.
Тогда - и + , где .
Т.к. по условию ряд из абсолютных величин членов данного ряда сходится, то имеет предел = , а и - положительные и возрастающие функции от n , причем < и < , то они имеют пределы, поэтому - имеет предел при , что требовалось доказать.


Определение. Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся ряд, называют абсолютно сходящимся рядом.


Определение. Если ряд сходится , а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то ряд называют условно сходящимся.
Достаточный признак сходимости ряда не является необходимым признаком.
Примером может служить ряд , условно сходящийся ряд (по теореме Лейбница), тогда, как ряд, составленный из абсолютных величин его -
гармонический ряд , расходится.
Теорема Лейбница позволяет в случае, когда она применима, установить не только сходимость ряда, но и оценить ошибку, допускаемую при отбрасывании всех членов ряда, начиная с некоторого номера. Обозначим через остаток знакочередующегося ряда, после отбрасывания n членов ряда. Остаток представляет собой ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница, поэтому его сумма по абсолютной величине
Например, по теореме Лейбница. ряд сходится (условно), его сумма равна . Предельная абсолютная ошибка приближенного равенства равна . Это указывает на плохую сходимость ряда.

Разграничение на абсолютную и условную сходимость рядов является весьма существенным.

Оказывается, что свойства конечных сумм переносится только на абсолютно сходящиеся ряды; условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают.