|
Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными краями
Ядгаров Уктам Турсунович, кандидат технических наук, доцент
Бухарский инженерно-технологический институт (Узбекистан)
В
работе рассматривается проблема распространения вынужденных импульсов напряжения в элементах плоско-
стей со свободными краями. Оно исходит из дифференциальных уравнений движения линейной теории упругости
для плюской задачи:
x
y
t
y
x
t
u
xy
y
xy
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
t
σ
ϑ
ρ
t
σ
ρ
2
2
2
2
;
(1)
где:
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
−
=
x
v
y
u
G
x
u
v
y
v
E
y
v
x
u
v
E
xy
y
x
ϑ
t
ϑ
σ
ϑ
σ
;
1
;
1
2
2
v
- коэффициент Пуассона, Е- модуль упругости.
Поиск решения уравнения (1) сводится к следующему:
( )
(
)
(
)
ax
at
t
ax
at
t
e
y
V
v
e
y
U
u
−
−
=
=
)
(
где:
ω
— круговая частота,
.
/
,
/
2
,
2
/
a
c
a
n
ω
π
λ
π
ω
=
=
=
Подставляя (3) ва(1) получим следующее выражение:
.
1
;
1
2
2
2
2
2
2
F
dy
d
G
a
v
Ev
s
V
F
dy
d
G
v
Ev
ia
U
+
−
−
=
+
−
=
ω
(4)
Здесь F удовлетворяет дифференциальному уравнению четвертого порядка
223
“Young Scientist”
.
# 7 (111)
.
April 2016
Technical Sciences
0
)
3
(
2
)
3
(
2
2
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
4
=
+
−
−
+
+
+
−
+
F
c
c
c
a
v
a
dy
F
d
c
v
a
dy
F
d
L
ω
ω
ω
где:
;
/
2
ρ
G
c
=
(
)
(
)
2
1
/
v
E
c
L
−
=
ρ
Решение уравнения (4) выражается через экспоненциальных функций:
( )
−
=
−
=
+
+
+
=
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
1
1
;
1
c
c
a
s
c
c
a
q
e
A
e
A
e
A
e
A
y
F
L
sy
sy
qy
qy
(5)
При симметричном движении решение (5) примет вцд:
(
)
(
)
(
)
(
)
ax
t
t
ax
t
t
e
y
ca
qy
Aq
v
e
sy
cia
qy
Aia
u
−
−
−
−
=
+
=
ω
ω
ρ
ρ
sin
sin
cos
cos
2
2
(6)
На краях
y=±e/2
ставится следующие граничные условия:
0
0
2
/
2
/
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
±
=
±
=
e
y
e
y
x
u
y
x
u
v
y
ϑ
ϑ
(7)
Подставляя (6) в (7) получим следующее дисперсионное уравнение:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
+
⋅
=
se
e
se
qe
e
qe
tg
se
tg
λ
π
λ
π
(8)
где:
.
1
2
;
1
2
2
2
2
2
1
2
c
c
e
se
c
c
e
qe
−
=
−
=
λ
π
λ
π
В таблице приведено изменение фазовой скорости (с/с
0
) от длины волны
(
)
.
/
,
29
.
0
/
0
ρ
λ
E
c
v
e
=
=
Таблица
λ
/
e
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,5
2,0
(с/с
0
)
1
0,9934
0,9512
0,7931
0,6797
0,6201
0,5783
0,5736
(с/с
0
)
2
3,3712
1,9558
1,5034
1,2871
1,1435
0,8805
0,7721
(с/с
0
)
3
3,1521
2,1481
1,6773
1,4236
1,1554
0,9853
(с/с
0
)
4
4,0430
2,7865
2,1692
1,8053
1,3301
1,1505
Если,
0
/
→
λ
e
из (8), полечим с=с
0
. В случае
∞
→
λ
/
e
тогда (8):
0
2
1
1
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
=
−
−
−
−
c
c
c
c
c
c
I
L
(8) в таком виде означает уравнение Рэле (1).
С помощью метода стационарной фазы Кельвина и метода анализа Фурье объясняются основные свойства рас-
пространения и деформирования широкополосных импульсов напряжения в полосе стены со свободными краями.
Вычисление с помощью ЭВМ было проведено при наличии импульса напряжений в форме (х=0):
( )
a
B
где
Be
a
t
t
x
2
1
2
,
0
2
2
=
=
−
β
π
σ
(9)
224
«Молодой учёный»
.
№ 7 (111)
.
Апрель, 2016 г.
Технические науки
Литература:
1. Сафаров, И. И. «Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях». — Ташкент, 1992.
Распространение нормальных волн в скважине
Ядгаров Уктам Турсунович, кандидат технических наук, доцент
Бухарский инженерно-технологический институт (Узбекистан)
П
оглощение продольных и поперечных волн в среде является одной из важных характеристик, используемых в про-
мысловой и разведочной геофизике. Чаше всего такие параметры определяют с помощью скважинных измерений
методом акустического каротажа. Однако, если измерение затухания продольной волны
Р
не вызывает больших за-
труднений; так как она образует первые вступления, то определение поглощения поперечной волны
S
является более
сложной задачей, поскольку она выступает на фоне сильных интерференционных колебаний, вывиваемых резонанс-
ными явлениями в скважине. Поэтому изучение распространение и поглощение продольных и поперечных волн в сква-
жине является очень актуальной задачей.
«
В
» и «
а
» характеризуют импульс,
0
/
2
ω
π
=
T
, или выражение (9) можно записать в виде:
( )
( )
∫
∑
=
+
=
∞
=
2
/
0
1
0
0
2
cos
,
4
;
cos
2
,
0
T
x
k
n
n
x
tdt
T
k
t
o
T
a
t
a
a
t
π
σ
ω
σ
или
tdt
n
e
B
a
a
dt
e
B
a
a
t
x
n
t
x
0
/
0
0
/
0
0
0
cos
;
2
2
2
2
0
2
2
ω
π
π
ω
π
π
ω
β
ω
β
ω
−
−
∫
∫
=
=
После некоторых преобразований можно найти перемещение полосы
(
)
(
)
.
sin
;
cos
cos
sin
2
2
0
2
0
1
0
1
0
0
2
0
2
2
2
0
2
2
−
=
−
=
−
+
=
−
−
∞
=
∞
=
∑
∑
c
x
c
x
n
e
cn
B
B
c
x
c
x
n
e
cn
B
A
t
n
B
t
n
A
t
c
B
u
n
a
n
n
a
n
n
n
n
n
ω
ρ
ω
ρ
ω
ω
ρ
ω
ω
ω
Результаты данных исследований показали, что имеет место существование геометрической дисперсии на распро-
странение упругих волн напряжения. Помимо того, оно влияет на импульсов напряжения в плоских образцах, а также
способствует боже глубокому объяснению ударных явлений.
Рассмотрим жидкий цилиндр
(
)
,
,
1
0
r
r
z
≤
<
<
∞
−
α
находящийся в безграничной деформируемой среде
(
)
.
,
2
0
r
r
z
≤
<
<
∞
−
α
Скорости распространяющихся волн и плотности в соответствующих средах обозначим
через
.
,
,
,
,
2
1
2
2
1
ρ
ρ
b
a
a
Потенционалы скоростей волн, распространяющихся в такой системе удовлетворяют
волновым уравнениям
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
,1
1
dt
d
b
i
dt
d
a
i
i
i
i
i
i
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
∇
=
=
∇
(1)
На границе раздела выполняются условия непрерывности нормальных составляющих смещений, и напряжения
и равенства нулю касательных напряжений:
dr
d
dr
d
r
r
2
1
2
2
1
1
0
:
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
=
=
=
(2)
Дисперсионное уравнение для осесимметричных колебаний, полученное из граничных условий (2) в предложении
ограниченности поля на оси цилиндра
r=0
и убывания его на бесконечность, может быть записано в виде
( )
( ) ( )
( )
0
1
1
1
2
12
=
−
y
K
y
K
x
J
a
a
x
J
o
o
ρ
(3)
Do'stlaringiz bilan baham: |
