Buxoro davlat universiteti qo’lyozma huquqida udk abdullayev Behzod Rajabovich

Interpolyatsion kubatur formulalar.

Integral ostidagi funksiyani 2 o’lchovli interpolyatsion ko’phad bilan almashtiramiz

Agar
L_{i } x , y _
ko’phadlarni quyidagicha

L_{i } x _j , y _{j } 
aniqlab olsak, u holda
_1,

_ 0,
agar i  j ,
agar i  j ,


i, j


 1, N

N
L _ x, y _  _
i 1
f _ x_i , y_{i }
L_{i } x , y _

( 2.25)

^ko’phad  ^x _j ^{, y} _j 

nuqtada
f _ x _j , y _{j }

qiymatni qabul qiladi. Integral ostidagi

funksiyani (2.25) bilan almashtiramiz:

  ^f
N
_ x , y _ dxdy  _{ } L _ x , y _ dxdy  _ A_i
f _ x_i , y_{i  ,}

Bu yerda
 

A_i  _ L_{i } x , y _ dxdy

i 1

bo’lib, uni murakkab bo’lmagan sohalar uchun hisoblash qiyin emas.

Faraz qilaylik,  soha to’g’ri to’rtburchak bo’lsin: ^{a  x  b ,}
Integrallash to’ri sifatida
c  y  d _{ .}

b  a d  c
x_i  a  ih, y _j  c  jk _i  0, m ; j  0, n _ , h  , k 
m n
to’g’ri chiziqlarning kesishishlaridan hosil bo’lgan nuqtalar to’plamini olamiz, u holda quyidagi interpolyatsion formulaga ega bo’lamiz:

m n m

10. 
     x
    

ⁿ y  y

f _ x , y _  _ f
^{ x}i , ^y j ^ 
t _s _.

i  0
j  0


t  0

10. 
     x_t
    

s  0
y _j  y _s

t  i s  j

Buni to’g;ri to’rtburchak bo’ylab integrallasak,

b d _{m n}

 ^f
_ x, y _ dxdy
^{  A}ij ^f
_ x_i , y _{j }

a c

hosil bo’ladi, bu yerda

i  0
^{b m} x  x
j  0
d _n
y  y

A  _
t _dx
s _dy

ij ^ x  x ^ y  y
_a t  0 _{i t c} s  0 _{j s}

yoki

^Aij

 _ b  a _{ } d

t  i s  j


^{ c  I} i , m 1 ^{ I} j , n 1

o’rinishda yozish mumkin, formulasining koeffitsiyentlaridir.
^I i , m 1
^{va I} j , n 1
lar esa Nyuton-Kotes

Kubatur formulanini Simpson formulasi orqali hisoblash

f ( x y ) 

1

( x  y ) ²
a  4
b  5
c  0
d  1

_ 5 _ 1

x₀  a

x₁ 

( a  b ) 2

x₂  b

Z  
₄
 f ( x y ) dx dy
₀

y ₀  c

y ₁ 

( c  d ) 2

y ₂  d

Z 

Z dastur chiqargan natija

T Simpson formulasining kubatur formulada chiqargan natijasi

R1 xatoligi

h 

I 

( b  a) 2

h  k 9

k 

( d  c) 2

^{P  f} ^{x0  y 0} ^{ f} ^{x2  y 0} ^{ f} ^{x0  y 2} ^{ f} ^{x2  y 2} ^ _^{4 } ^f ^{x1  y 0} ^{ f} ^{x0  y 1} ^{ f} ^{x2  y 1} ^{ f} ^{x1  y 2} ^{ 16  f} ^{x1  y 1}_

T  I  P

R1  Z  T T 


R1 

2. bob bo’yicha qisqacha xulosa

Dissertasiyani ikkinchi bobida interpolyatsion kubatur formulalar kurib chiqilgan, ularni xatoliklari tahlil qilinib, effektivligi ko’rib chiqilgan va interpolyatsion kubatur formular uchun algoritm va dastur tuzilib misollarda qo’llanilgan.

3. BOB. SOBOLEV FAZOSIDA DAVRIY BO'LMAGAN FUNKSIYALAR UCHUN OPTIMAL INTERPOLYATSION FORMULALAR QURISH.

3.1. Sobolev fazosi va unda kubatur formulalar

Oxirgi vaqtlarda integrallarni taqribiy hisoblash uchun kubatur formulalar qurishda sfera sirtida, sferik garmonikalar nazariyasidan foydalaniladi. Bunda integral ostidagi funksiya sferik garmonikalar bo’yicha qatorlarga yoyiladi. Bu bobda esa asosan oddiy va vaznli kubatur formulalarni qarab chiqamiz. Quyidagi oddiy kubatur formulani qarab chiqamiz

_ f _ _ d 
S
N


 _ C f ( ^{(  )} ) ,
 1
(3.1)

2
L^{(m )} ( S ) ^{fazoda va uning xatolik funksionalini normasini hisoblaymiz.}



2
L^{(m )} ( S ) fazo berilgan bo’lsin

  ^x
| x |
 (
₁ , ₂
,...,
n 1 ^{) .}

D ^ f ( ) 
| | 1

  (₁ ,...., _{n 1} )  S ,   ( ₁ , ₂ , , _{n 1} ),

|  |  ₁   ₂  ....   _{n 1} è  !   ₁ !  _{n 1} !;

Ta’rif 3.1.1.

L^{(m )} ( S )
fazo quyidagicha aniqlangan funksiyalar fazosi , S birlik

2
sferada berilgan va m tartibli umumlashgan hosilalari kvadrati bilan jamlanuvchi funksiyalar fazosi, funksiya normasi quyidagicha kiritilgan.

k ,

a
 ^{ ( n ,k )}

|| f
| L^m ( S ) ||²  _{ }
² k ^m _ k  n  2 _m
(3.2)

2
k 1 1



2
L^{(m )} ( S ) fazoda aslida Sobolev ta’rifi bo’yicha norma quyidagicha kiritilgan.

 ^m 
^ ^{m !}
1

 _{2 } 2

f L₂
 ^S 
^{ } _ 
_{ S} ^{  m}
_ D f _
 !
ds _
_
, (3.3)

Shubday qilib
L₂ ( S )
- S birlik sferada berilgan va kvadrati bilan jamlanuvchi

funksiyalar fazosini bildiradi.

Agar funksiya
L₂ ( S )
fazoga tegishli bo'lsa
f _ _  L₂ ( S ),
unda uni

ortonormallangan sferik garmonikalar bo’yicha qatorga yoyish mumkim [1]

 ^{ ( n ,k )} 

f _ _  _{ }
^ak , ^Yk ,
_ _  _ Y_{k } _ ,

bu yerda
k 1 1
k 1

^ak ,
 _ f _ _Y_{k ,}
S
_ _ d , k – tartibli ko’rinishdagi ortonormallangan sferik

garmonikalar ;
^  ^{n , k}  ^  ^{2 k  n  2}  ^{ k  n  3 !}
 ^{n  2} ^{!k !}
- k – tartibli chiziqli bog’liq bo’lmagan sferik

garmonikalar soni.

2
L^m _ S _
bo’lishini [1]:
fazo aniqlaydiki,
f _ _  L₂

( S ),

funksiyalar uchun yarim norma

k ,

a
 ^{ ( n ,k )}

|| f
| L^m ( S ) ||²  _{ }
² k ^m _ k  n  2 _m .

2
k 1 1

2
L^m ( S )
fazo elementlarining tuzilishi bo’yicha
_L( m ) _{ S }
S.L.Sobolev fazosi

2
bilan ustma ust tushadi [2].
(3.1) ko’rinishdagi kubatur formulaning xatolik funksionali quyidagicha bo’ladi.

N
( )  _ C _
 1
 (
  ^{(  )} ) , (3.4)

bu yerda - Dirakning delta funksiyasi,  _s ( )
- S sohaning xarakteristik funksiyasi

^ ( S )
_1, ( x )  _
 0,
x  S x  S

< (x), f(x)>=f(0)
Kubatur formulaning xatoligi deganda biz quyidagi ayirmani tushunamiz:

 _N , f
 _
S
f ( )d 
N
 _
 1
C f ( ^{(  )} )  _


_R n
_N ( ) f ( )d  ,

N
( )  _ C _
 1
 (
_{ } (  ) ₎

^ ( S )
_1, ( x )  _
 0,
x  S
_{x  S} , < (x), f(x)>=f(0)

(3.1) ko’rinishdagi kubatur formulaning xatoligi
L^m ( S )
fazoda chiziqli

2
funksionalni tashkil qiladi. Bundan
2 m  n ,
L^{(m )} (S )  C (S )
kelib chiqadi [1].

2
Quyidagi teoremani qarab chiqamiz. Bu teorema G’.N. Salixov tomonidan kiritilgan va isbotlangan lekin isboti qisqa keltirilgan. Biz uning isbotini to’liq keltiramiz sababi keyingi olinadigan asosiy natijalarda ham biz undan foydalanamiz.