Buxoro davlat universiteti qo’lyozma huquqida udk abdullayev Behzod Rajabovich

Gauss tipidagi kvadratur formula koeffisentlarining xossasi. Gauss tipidagi kvadratur formulaning barcha koeffisentlari musbatdir. Haqiqatdan ham, 2n-2
darajali
Ko’phad uchun quyidagi tengliklar bajarilishi ayondir. Bu ko’phad uchun Gauss tipidagi formula aniqdir:

Bundan: (2.18)
O’z navbatida bundan barcha larning musbatligi kelib chiqadi.

Gauss tipidagi kvadratur formulaning qoldiq hadi:

Teorema 2.3. Agar [a,b] oraliqda f(x) funksiya 2n-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, Gauss tipidagi kvadratur formulaning qoldiq hadi

uchun quyidagi tenglik o’rinlidir:

Gauss kvadratur formulasining qoldiq hadi:

(2.19)

Gauss kvagratur formula bilan tanishdik, endi bu formulani Mathcad dasturida yechimini ko’ramiz.

Gauss tenglamasining dasturi:
ORIGIN  1 n  6

n
P ( x) 

1


2 ⁿ  n
_dn



dx^n
x²  1





231	 x^6	315	 x^4	105	 x^2	5
16		16		16		16

simplify 

_  5 _
 ₁₆ 
 
 ⁰ 
^ 105 ^

T ( x) 

^_ 1 

2

( x) ^{2 }_  ^{ d}
_ dx


_2
P ( x)


^  315 ^
 
_ 16 _
 0 
^ 231 ^
 
_ 16 _
A_k 


^T  ^x_k
k  1  n

		 	16	 
a 	P ( x) coeffs  x 		0		x  polyroots	( a)

_ 0.1713244923 _
 
_ 0.3607615731 _





x  _



 0.9324695142 _

 0.6612093864 _
 0.2386191861 ^

0.2386191861 _
0.6612093865 ^
0.9324695142 ^

A  _





2
0.4679139346 ^


0.4679139346 _
0.360761573 ^


0.1713244924 ^

 
f ( x) 


_b
sin ^x ^



_ex

a  0

b  1

 f ( x)
_a
dx 
0.1509125672
t_k 
b  a 2
 x_k 
b  a 2

n


b  a

2


^A_k ^{ f}  ^t_k

 0.1509125672

k  1

2. 
   Interpolyatsion kubatur formulalar. Matematikaning o’zida va uning tadbiqlarida ko’pincha karrali integrallarni taqribiy hisoblashga ehtiyoj tug’iladi. Kvadratur formulalar kabi bu yerda
   

ham karrali integralning qiymatini integral ostidagi funksiyaning chekli
^miqdordagi P , P , . . . , P ^{nuqtalardagi qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasi}
1 2 N
yordamida aniqlaydigan ushbu


N


_ ^... _ ^f  ^x₁ ^{, ..., x}_n  ^dx₁ ^...dx_n ^ _ ^A_k ^f  ^P_k  ^{ R}  ^f 
k 1

formula ^{kubatur formula} deyiladi. Bundagi

1 2
P , P , . . . , P
_ P  _ x ^{ k } , x ^{ k } , . . . , x ^{ k } _   _

N k

1 2

n
nuqtalarning to’plami integrallash to’ri ,
A_{k } k  1, N _

kubatur formulaning koeffitsiyentlari _va
R _ f _
qoldiq had _deyiladi.

Bu paragrifda kubator formulalarni tuzishning ayrim usullarini qisqacha ko’rib chiqamiz. Biz asosan ikki karrali integrallarni qaraymiz.

1. Kvadratur formulalarni ketma-kit qo’llash. Kubatur formula tuzishning eng soda usuli, bu karrali integralni takroriy integral shaklida tasvirlab, bir karrali integrallar uchun qurilgan kvadratur formulalarni qo’llashdan iboratdir.
Faraz qilaylik , integrallash sohasi  to’g’ri burchakli to’rtburchak

^{a  x  b; c 
y  d} 
bo’lsin. Ushbu

I  _ f

_ x ,
y _dxdy
( 2.20)

Integralni hisoblash uchun Simpson formulasini ikki marta qo’llaylik. Buning uchun [a,b] va [c,d] oraliqlarning har birini quyidagi nuqtalar bilan ikkiga bo’lamiz:

x₀  a,
x₁  a  h,
x₂  a  2h  b;
y₀  c,
y₁  c  k ,
y₂  c  2k
 d ,

bu yerda
b  a d  c

h  , k 
2 2

Shunday qilib, hammasi bo’lib to’qqizta _ x_i , y _{j  } i,
bo’lamiz .
^{j  0,1, 2}  ^{nuqtaga ega}

Endi (2.20) integralda

b d
I  _ dx _
a c
f _ x , y _ dy

ichki integralni hisoblash uchun Simpson formulasini qo’llaymiz:

b _k

3
^{I } _ ^_ ^f  ^{x , y}₀  ^{ 4 f}  ^{x , y}₁  ^{ f}  ^{x , y} ₂ ^_ ^{dx }
a
_{k } b b b _
^ _{3  } ^f  ^{x , y}₀  ^{dx  4} _ ^f  ^{x , y}₁  ^{dx } _ ^f  ^{x , y} ₂  ^dx _
 a a a 
Har bir integralga yana Simpson formulasini qo’llasak, u holda


_hk ^_{ }^{ f}  ^x₀ ^{, y}₀  ^{ 4 f}  ^x₁ ^{, y}₀  ^{ f}  ^x₂ ^{, y}₀ _^{  4} _^{ f}  ^x₀ ^{, y}₁  ^{ 4 f}  ^x₁ ^{, y}₁  ^{ f}  ^x₂ ^{, y}₁ _^{ } _^
I  _{ }
⁹ _ ^{ }_ ^f  ^x₀ ^{, y}₂  ^{ 4 f}  ^x₁ ^{, y}₂  ^{ f}  ^x₂ ^{, y}₁ ^_{ }
yoki


_hk ^_ ^_ ^f  ^x₀ ^{, y}₀  ^{ f}  ^x₂ ^{, y}₀  ^{ f}  ^x₀ ^{, y} ₂  ^{ f}  ^x₂ ^{, y} ₂ _^{ } _^

I  _{ }
(2.21)

⁹ _ ^{ 4 }_ ^f  ^x₁ ^{, y}₀  ^{ f}  ^x₀ ^{, y}₁  ^{ f}  ^x₂ ^{, y}₁  ^{ f}  ^x₁ ^{, y} ₂ ^_ ^{ 16 f}  ^x₁ ^{, y}₁ _
hosil bo’ladi. Bu formulani qisqacha quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:


hk ² _.


I  _ _ij f _ x_i , y _{j }
⁹ i , j  0

Bu yerda
^ij

quyidagi uchinchi tartibli

matritsaning elementidir .

^{1 4 1} 

 
  ^ 4 16 4 ^
_1 4 1^_

Ko’rsatish mumkinki, (2.21) formulaning qoldiq hadi
_h ⁵ _k  ⁴ f _ , _{ hk} ⁵  ⁴ f _ , _{ h} ⁵ _k ⁵  ⁸ f _ , _
^R  ^f  ^{  1 1 2 2 (2.22)}

45 x ⁴
45 y ⁴
90 ²
x ⁴y ⁴

ko’rinishga ega bo’ladi.
 ^{a   i  b;
c   i  d} 

Qoldiq handing bu ko’rinishidan ma’lum bo’ldiki, 9 nuqtali (2.21) formula darajasi uchdan ortmagan ko’phadlarni aniq integrallaydi.
Misol. Simpson formulasi yordamida

5 1
I  _
dxdy
2

hisoblansin. Bu yerda

_{4 0}  ^{x  y} 
5  4 1  0

h   0, 5; k   0, 5

2
2 2

y j xi	4	4,5	5
0 0,5 1	0,0625000 0,0493827 0,0400000	0,0493827 0,0400000 0,0330688	0,0400000 0,0330688 0,1666667

deb olamiz. Integral ostidagi funksiya jadvalda keltirilgan
^f  ^{x, y}  ^  ^{x  y} 
qiymatlari quyidagi

(2.21) kubatur formulani qo’llaymiz:
0, 5  0, 5
I  [(0, 0625000  0, 0400000  0, 0400000  0,1666667 ) 
9
 4 (0, 0493827  0, 0493827  0, 03300688  0, 03300688 )  16  0, 0400000 ] 
 0, 044688 .
Bir o’lchovli holdagidek bu yerda ham aniqlikni orttirish maqsadida
^{ } ^{a  x  b; c  y  d}  ^{to’g’ri to’rtburchakning tomonlarini mos ravishta m va} n bo’lakchalarga bo’lib, hosil bo’lgan mn ta kichik to’g’ri to’rtburchaklarning har birida Simpson formulasini hosil qilish mumkin.
Faraz qilaylik,

b  a
h 
2 m
d  c

va
k 
2 n

bo’lsin, u holda tugunlarning to’ri quyidagi koordinatalarga ega bo’ladi:

x_i 
x₀  ih ,
x₀  a ,



i  0, 2 m ;

y _j 
y₀ 
jk ,
y₀  c ,



j  0, 2 m .

Qulaylik uchun

f _ x_i , y _{j } 
^fij

deb olib, har bir kichik to’g’ri

to’rtburchakka (2.21) formulani qo’llasak, u holda

b d
 ^f
_ x , y _ dxdy 
m n

9

hk
^{  [( f} 2 i , 2 j ^
f 2 i  2 , 2 j ^
f 2 i  2 , 2 j  2 ^

_{a c} i  0
j  0

^f 2 i , 2 j  2 ^{)  4( f} 2 i 1, 2 j ^
f 2 i  2 , 2 j 1 ^
f 2 i 1, 2 j  2 ^
f 2 i , 2 j 1 ^{)  16 f} 2 i 1, 2 j 1 ^]

ga ega bo’lamiz yoki o’xshash hadlarni ixchamlasak,

^{b d} _hk 2 m 2 n

 ^f
_ x, y _ dxdy 
^{ }ij ^fij _,

9
_{a c} i  0
j  0

bu yerda
^ij
quyidagi matritsaning elementidir:

1	4	2	4	2	...	4	2	4	1
4	16	8	16	8	...	16	8	16	4
2	8	4	8	4	...	8	4	8	2
. . . . . . . . . . 2 8 4 8 4 ... 8 4 8 2 4 16 8 16 8 ... 16 8 16 4 1 4 2 4 2 ... 4 2 4 1

 

Biz ichki va tashqi integrallarning har ikkalasi uchun ham Simpson formulasini qo’lladik. Ichki integralni bir kvadratur formula bilan hisoblab, tashqi integralni esa boshqa formula bilan ham hisoblash mumkin edi.

Agar  soha

a  x
 b ,
 _ x _ 
y  
 ^x 

tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa, bu holda ham (2.20) integralni yuqoridagi usul bilan hisoblash mumkin:

  ^f

_ x , y _ dxdy
b
 _ dx
a
^  ^x 
_ f
^  ^x 
_ x , y _ dy
b
 _ F _ x _ dx ,
a

bu yerd

^  ^x 
F _ x _  _ f
^  ^x 
_ x , y _ dx

Biror kvadratur formulani qo’llab,

b
_ F _ x _ dx
a

ni hisoblaymiz:

O’z navbatida

 ^f

_ x , y _ dxdy
^  ^x_i 
n
 _ A_i
i 1
F _ x_{i }

(2.23)

F _ x_{i }  _
^  ^x_i 
f _ x_{i ,} y _ dy

integralni boshqa biror kvadratur formula bilan hisoblash mumkin:

m_i
F _ x_{i }  _
j 1


B_ij f
_ x_i , y _{j }

Buni (2.23) ga qo’yib quyidagi

_n m_i

 ^f
_ x , y _ dxdy
^  
A_i B_ij f
_ x_i , y _{j }

(2.24)

_ i 1
j 1

kubatur formulani hosil qilamiz. Biz qaragan (2.23) va (2.24) formulalarda ko’p tugunlar qatnashadi. Bu yo’l bilan borsak integral karrasi ortgan sari tugunlar soni ham tez ortib boradi. Agar integrallash sohasi ⁿ o’lchovli kub bo’lib, har bir o’zgaruvchi bo’yicha integrallash uchun ^m tadan muqta

olinsa, u holda tuzilgan kubator formulaning tugunlari soni
N  m ⁿ _ta

bo’ladi. Shuning uchun ham, kubatur formulalar nazariyasida eng yuqori aniqlikka ega bo’lgan formulalar tuzishga harakat qilinadi.