Buxoro davlat universiteti qo’lyozma huquqida udk abdullayev Behzod Rajabovich



1

aniq integralga proporstionaldir.

F_n ( x ) dx

, (1.9)

Shunga uxshash, agar yangi

x  x_{n 1} , x_{n  2} ,...,
^xn  m
(1.10)

nuqtalarni ularni ordinatalari bilan kiritsak, u holda ularga mos

^ n 1 ^,
 _{n  2} , ...
^{, } n  m
vaznlar

1
^ n  i ^ _
1


F_n ( x )


i


m 1

( x ) dx

(1.11)

integral bilan aniqlanadi, bu yerda
i


m 1
^{( x )} - ayrim
m  1
darajali

ko’phadlardir. Ixtiyoriy
 _{m 1} ( x )
ko’phad,
x ⁰ ,
x ¹ ,
x ² , ...,
_x m 1
darajali

funksiyalarning chiziqli superpozistiyasidan iborat ekanligidan, agar

F_n ( x )
quyidagi integrallarni qanoatlantirsa, bu hamma vaznlar

avtomatik ravishda nolga aylanadi.

1
_ F_n
1

( x ) dx

1
 0, ..., _
1


F ( x ) x ^{m 1} dx
 0 _,

n
haqiqattan ham bizning talablarimiz
m  n
gacha borib,

1
_ F_n
1

( x ) x^

dx  0

( 

0,1,2,...,

n  1)

, (1.12)

integral shartining bajarilishidir.
Natijada bizning boshida berilgan ⁿ ta nuqtani ixtiyoriy ravishda qo’shsak ham baribir hech bir yangi ordinata oldingi natijalarni o’zgartirmaydi.
Oldingi natija shundan iboratki, xuddi biz ^{2 n} ta ordinata bilan ish
ko’rib, haqiqattan esa biz ⁿ ta ordinatadan foydalanamiz, yangi qurilgan ordinatalar esa hisoblanayotgan yuzaga hech nima qo’shmaydi.
Bu jarayonda biz

2 n

A  _ y _k  _k k 1
yig’indiga ⁿ ta hadni tejayimz. Bu fikrlashlar yuqoridagi mulohazalar uchun yetarlicha emasdir. To’liqroq bo’lishi uchun quyidagi mulohazani tavsiya etamiz.

Haqiqattan ham yangi
x_{n 1} , x_{n  2} ,...,
^x2 n
nuqtalarning berilishi nafaqat

Q_{n  m} ( x)
(m  1,2,..., n)
yangi ko’phadlarni qo’shadi, xatto oldingi

Q_i ( x )
(i  1,2,..., n)
ko’phadlar ham o’zgaradi: har bir yangi
^xn  m
nuqta

Q_i ( x )

ga qo’shimcha

10. 
    
    
11. 
    
    

^xn  m
^xn  m

ko’paytuvchini kiritadi.

Shunday qilib, yangi ^m ta
x_{n 1} , x_{n  2} ,...,
^xn  m
nuqtalarning kiritilishi

oldingi
Q_i ( x )
ko’phadni


Q ^* ( x )  Q

( x )

x  x_{n 1 }
x  x_{n  2}
 ... 


x  x_{n  m}

i i
ko’phadga aylantiradi.
x_i  x


n 1
x_i  x


n  2
x_i  x


n  m
, (1.13)

Yuqoridagi mulohazalarning haqiqat ekanligi shakli o’zgartirilgan

Q ^* ( x )
i
ko’phadlarning quyidagi xossalarga ega ekanligidan kelib chiqadi:

1⁰.
Q ^* ( x )
i
  _ik ( k
 1,2,...,
n ).

2 ⁰.
1
^1
Q ^* ( x ) dx
i
1
 _1 Q i
( x ) dx
  _i

endi bu xossalarni isbotini ko’ramiz.
Birinchi xossa bevosita (1.13) munosabatdan kelib chiqadi. Ikkinchisi uchun esa

dan foydalanamiz.

10. 
     x_{n  k}
    
11. 
    ^{ x}n  k
    

 1 
x  x_i
^xi ^{ x}n  k

Bundan shuni xulosa qilamizki, (1.13) tenglikning o’ng tomonidagi

qo’shimcha ko’paytuvchilarni ko’paytirishni
i

1  
m 1
( x )
ko’rinishda

tasvirlash mumkin ekan, bu yerda
i


m 1
( x ) 
m  1
darajali ko’phad. (1.12)

shartning kuchiga asosan 2⁰ - tenglik bajariladi. Isbotlangan 1⁰ va 2⁰ lar ko’rsatadiki yangi ordinatalar oldingi olingan natijalarni o’zgartirmaydi.

Muhimrog’i shundan iboratki, bizlar qo’shimcha ordinatalarni bilishimiz shart emas.
y_{n 1} , y_{n  2} ,...,
^y2 n

n
A  _ y_k
k 1
^ k , (1.14)

Yig’indi ⁿ ordinata yordami bilan shunday aniqlikdagi yuzani beradiki, agar

biz ^{2 n} - ordinata olsak ham o’zgarmaydi.

(1.12) - tipdagi integral shart ortogonallash sharti deyiladi. Biz

ko’rsatamizki,
F_n ( x )
ko’phad
1, x¹ ,
x ² , ...,
_x n 1
darajali funksiyalarga

ortogonaldir. Bunday shartlarni oldin ortogonal funksiyalar sistemasini ko’rib chiqqanda o’rganganmiz.

Biz Yakobi ko’phadlarini tekshirib chiqdikki, u (1.12) shart ma’nosida ko’phad darajasidan past bo’lgan barcha ^x ning darajalariga ortogonallik

xossalariga egadir. Ammo ortogonallik sharti umumiy holda yana
 ( x )

vazn ko’paytuvchini ham integral ostiga oladi. Faqat maxsus hollarda “Lejandr ko’phadlari” da bu vazn ko’paytuvchi 1 ga teng bo’ladi va shunday qilib, ortogonallik oddiy ortogonallikka aylanib qoladi. Shunday

qilib,
F_n ( x )
funksiyani tanlash masalasi hal qilinadi:

Gauss metodi
F_n ( x )
ni ⁿ - Lejandr ko’phadlari bilan mos qo’yishni

talab qiladi: bu ko’phad ildizlari bizga shunday nuqtalarni beradiki,

qaysikim
f ( x )
funksiya qiymatlari berilgan bo’ladi. ^ _i
koeffistientlarning

sonli qiymatlari bilan birga shu ildizlarning juda aniq jadvallari borki, u (1.8) formula bilan hisoblanadi.

Bizga ma’lumki, ^{[ a , b ]} da ⁿ nuqtali interpolyastion formulaning

b
_  ( x ) f
a

( x ) dx

n
 _
k 1


A_k f


^{( xk )} , (1.15)

tugun nuqtalari
[ a , b ]
oraliqda qanday joylashganliklaridan qat’iy nazar,

^{(n  1)} - darajali ko’phadlar aniq integrallanishi qaraladi. Chekli
[ a , b ]
oraliq

_va  ( x )  1
uchun Gauss quyidagi masalani qaragan edi.
x₁ , x₂ ,..., x_n

tugunlar shunday tanlanganki, (1.15) formula mumkin qadar darajasi eng Yuqori bo’lgan ko’phadlarni aniq integrallasin. (1.15) formula ⁿ ta parametr
- tugunlarni maxsus ravishda tanlash yo’li bilan uning aniqlik darajasini ⁿ

birlikka ortirishni ko’rish mumkin. Haqiqattan ham
x₁ , x₂ ,..., x_n
tugunlarni

maxsus ravishda tanlash orqali (1.15) formulaning darajasini
2 n  1
dan

ortmaydigan barcha ko’rsatdi.
f ( x )
ko’phadlar uchun aniq bo’lishga erishishni Gauss

Qanchalik Gaussning natijasi ixtiyoriy oraliq va vazn funksiyalar
uchun umumlashtirildi. Bunday formulalar Gauss tipidagi kvadratur formulalar

deyiladi. Qulaylik uchun
^x_n tugunlar o’rnida

 _n ( x)  ( x  x₁ )( x  x₂ )...( x  x_n )

ko’phad bilan ish ko’ramiz. Agar ^x_k
lar ma’lum bo’lsa, u holda
 _n ( x )

ham ma’lum bo’ladi va aksincha. Lekin
^x_n larni topishni
 _n ( x )
ni topish

bilan almashtirsak, u holda biz
 _n ( x )
ni ildizlari haqiqiy, har xil va ularning

[ a , b ]
oraliqda yotishini ko’rsatishimiz shart.
Teorema 1.1.1 (1.15) kvadratur formula darajasi
2 n  1
dan

ortmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallashi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va etarlidir:

1. 
   U interpolyastion va 2)
   

 _n ( x )
ko’phad
[ a , b ]
oraliqda
 ( x )

vazn bilan darajasi ⁿ dan kichik bo’lgan barcha ortogonal bo’lishi kerak.
Q ( x )
ko’phadlarga

b
_  ( x ) _n ( x )Q ( x ) dx
a
^{ 0} , (1.16)

Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik, (1.15) formula darajasi
2 n  1
dan

oshmaydigan barcha ko’phadlarni aniq integrallasin. U holda u interpolyastiondir.

Endi darajasi ⁿ dan kichik bo’lgan ixtiyoriy
Q ( x )
ko’phadni olib,

f ( x )
  _n ( x )Q ( x )
deb olamiz. Shuning uchun ko’rinib turibdiki,
f ( x )

darajasi
2 n  1
dan ortmaydigan ko’phad. Shuning uchun ham uni (1.15)

formula aniq integrallaydi:

b
_  ( x ) _n ( x )Q ( x ) dx
a
n
 _
k 1
A_k  _k ( x_k )Q ( x_k ) _.

Bu yerda,
 _n ( x_k )  0
( k  1, n )
ni hisobga olsak (1.16) tenglik

kelib chiqadi, chunki
r ( x )
darajasi ⁿ dan kichik ko’phad va (1.15)

formula interpolyastiondir.

Demak,

b
_  ( x ) f
a

( x ) dx

n
 _
k 1


^{Ak r ( xk )} , (1.17 )

lekin (1.17) ga ko’ra
r ( x ) 
^{f ( x )} . Shuning uchun

b
_  ( x ) f
a

( x ) dx

n
 _ A_k
k 1


f ( x_k ) _.

Shu bilan birga teoremaning yetarli sharti isbot bo’ldi.

 _n ( x )
ko’phad
 ( x )
vazn bilan
[ a , b ]
oraliqda darajasi ⁿ dan

kichik bo’lgan barcha ko’phadlar bilan ortogonal va bosh koeffistienti birga

teng bo’lishi uchun, bunday
 _n ( x )
ko’phad yagona hamda uning ildizlari

haqiqiy, har xil va
[ a , b ]
oraliqda yotadi. Demak, agar
 ( x )
vazn
[ a , b ]

oraliqda uz ishorasini saklasa, u holda har bir
n  1,2,.....
uchun
2 n  1

darajali ko’phadlarni aniq integrallaydigan yagona (1.15) kvadratur formula mavjud.

Faraz qilaylik bizga
f ( x )
furkstiyaning
x₁ , x ₂ , x₃ ,..., x_n
nuqtalardagi

f ( x₁ ),
f ( x₂ ),
f ( x₃ ),...,
f ( x_n )
qiymatlari berilgan bo’lib, maqsad shu

nuqtalar bo’yicha

b
_ f ( x ) dx
a

integralning taqribiy qiymatini mumkin qadar

Yuqori aniqlikda topishdan iboratdir. Demak,
^A_k koeffistientlar aniqlanishi

kerak. Buning uchun
f ( x )
ni uning berilgan qiymatlaridan foydalanib,

^{( n  1)} - darajali ko’phad bilan interpolyastiyalaymiz:


^{n n} x  x

f ( x )  L
( x )  r
( f , x )  _{ } ⁱ f ( x )  r
( f , x )

k n
n 1 n
^{k 1 i 1, i  k x}k ^{ x}i
, (1.18)

endi bu tenglikni
 ( x )
ga ko’paytirib, ^a dan ^b gacha integrallaylik:

b
_  ( x ) f ( x ) dx
a

qoldiq hadni tashlasak,

n

• 
  _ A_k k 1
  

f ( x_k ) 
b
_  ( x ) r_n ( f , x ) dx
a

, (1.19)

b
_  ( x ) f ( x ) dx
a
n
 _
k 1


A_k f ( x_k ) _,

^{b n} x  x
A   ( x ) _ ⁱ

x
k _
a i 1, i  k _k

• 
  x_i
  

, (1.20)

kvadratur formulalarga ega bo’lamiz.
Bu formula qurilish usuliga ko’ra interpolyastion formula deyiladi.
Bunday formulalar uchun ushbu teorema o’rinlidir.
Teorema 1.1.2 Quyidagi

b
_  ( x ) f ( x ) dx
a
n
 _
k 1


^{Ak f ( xk )} , (1.21)

kvadratur formulaning interpolyastion bo’lishi uchun uning barcha darajali algebraik ko’phadlarni aniq integrallashi zarur va kifoyadir.
( n  1) _-

Isbot. Zarurligi. Agar
f ( x )
^{( n  1)} - darajali ko’phad bo’lsa, u holla

(1.18) tenglikda
r_n ( f , x)  0
bo’lib,

^{n n} x  x

f ( x )  _{ }
i
x  x
f ( x_k )

k 1
^{i 1, i  k} k i

tenglik urinli bo’ladi va (1.21) hamda interpolyastion bo’lganidan (1.20) ga ko’ra:

b _n
 ( x ) f ( x )  _


f ( x
b _n
)  ( x ) _
x  x_{i dx}

n
 _ A


f ( x )

 ^k 
_a k 1 _a
^{i 1, i  k x}k

• 
  x_i
  

^{k k} .
k 1

Demak, (1.21) formula
^{( n  1)} - darajali
f ( x )
ko’phadni aniq integrallaydi.

Yetarligi. (1.21) formula formuladir. Xususiy holda, u
^{( n  1)} - darajali ixtiyoriy ko’phad uchun aniq
^{( n  1)} - darajali ushbu

ⁿ x  x

m
 ( x )  _ ⁱ
( m  1,2,..., n )

^{i 1, i  m x}m ^{ x}i

ko’phad uchun ham aniq bo’ladi.

olsak,
Agar
 _m ( x_k )  0
(k  m )
_va  _m ( x_m )  1
ekanligini hisobga

^{b n} x  x b ⁿ

a
 ( x ) _ ⁱ dx   ( x ) ( x ) dx  _ A 


( x )  A

x


_a i 1, i  m _m

• 
  x_i ^
  

k m k m
k 1

kelib chiqadi. Demak, (1.21) ham interpolyastiondir, shu bilan teorema isbot bo’ldi.
Bu teoremadan ko’rinadiki, ⁿ nuqtali interpolyastion kvadratur

formulaning algebraik aniqlik darajasi
n  1
dan kichik bo’lmasligi kerak.

Bularga asosan, ishonch hosil qilish mumkinki, to’g’ri turtburchak, trapestiya va Simpson formulalari interpolyastion kvadratur formulalardir.

2.