Buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Isbot.Zarurligi. Avvalo soni berilgan ko‘phadning ildizi bo‘la olmaydi. Chunki bo‘lsa, kelib chiqadi. Buning esa bo‘lishi mumkin emas. Aytaylik, soni ko‘phadning ildizi bo‘lsin. Bu holda uni



ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda , .

Ko‘rinib turibdiki, bu yerda ushbu

munosabat bajariladi.

Yetarliligi. Aytaylik, ushbu

tenglik o‘rinli bo‘lsin. U holda berilgan ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish mumkin bo‘ladi:

.

Endi ushbu , tenglamani qaraylik. Bundan

ildizlarnitopamiz.■

3-teorema (Vishnegradskiy). Koeffitsiyentlarihaqiqiysonlardaniboratbo‘lgan

, (6)

uchinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun:

1) (7)

2) (8)

shartlarning bajarilishi zarur va yetarli.

Vishnegradskiy teoremasidan quyidagi

(9)

bir jinsli differensial tenglama yechimining turg‘unligi va noturg‘unligi kelib chiqadi.

Agar bo‘lsa, u holda (9) differensial tenglamaning yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi.

Agar bo‘lsa, u holda (10) differensial tenglamaning yechimi turg‘un bo‘lib, asimptotik turg‘un bo‘lmaydi.

Agar bo‘lsa, u holda (9) differensial tenglamaning yechimi noturg‘un bo‘ladi.

4-teorema (Raus-Gurvis belgisi). Haqiqiy koeffitsiyentli (10) ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli:

1. Barcha koeffitsiyentlari musbat: ;

2. Gurvis matritsasining barcha bosh minorlari musbat: .

5-teorema (Lenara-Shiparo belgisi). Haqiqiy koeffitsiyentli (12) ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarishi zarur va yetarli:

1. ;

2. Gurvis matritsasining nomerlariga mos keluvchi bosh minorlari musbat.

Bu ikki belgining ekvivalent ekanligini uchinchi darajali ko‘phad misolida ko‘rishimiz mumkin.

Haqiqatan ham, ushbu

ko‘phad uchun Gurvis matritsasi

ko‘rinishni oladi.

Bu matritsaning bosh minori quyidagi

determinantlardan iborat.

Berilgan uchinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun, Linara-Shipara belgisiga ko‘ra, ushbu

shartlarning bajarilishi yetarli.

Endi tengsizlikdan bo‘lishi kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Buning uchun determinantning oxirgi satr elementlari bo‘yicha yoyamiz:

.

Agar bo‘lsa, u holda bu tenglikdan va zaruriy shartlar bajarilganda kelib chiqadi.

Raus-Gurvis belgisidan foydalanib, o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli

(11)

differensial tenglamalar sistemasi nol yechimini asimptotik turg‘unlik shartini matritsaning elementlari orqali ifodalash mumkin. Agar matritsaning xarakteristik tenglamasini ushbu



ko‘rinishda yozib olsak. Bu yerda . U holda, xususan (11) sistemada bo‘lsa yechimning asimptotik turg‘un bo‘lishi uchun

(12)

shartlarningbajarilishiyetarli.

Ushbu

differensial tenglamalar sistemasi yechimini asimptotik turg‘unlikka tekshiring.

Yechish.

,

,

Berilgan soni tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda

, chunki ,



va (12) shartlar bajariladi. Demak, berilgan sistemaning yechimi tengsizligini qanoatlantiruvchi barcha p larda asimptotik turg‘un bo‘ladi.

XULOSA.

Bu kurs ishni bajarish davomida differensial tenglamalar ta’riflari, turg’unlik tushunchasi,ko‘phadlarni turg‘unlikka tekshirish va shu mavzuga doir teoremalar va ularning isboti haqida tushunchaga ega bo’ldim. Berilgan (1.1) differensial tenglamalar sistemasi yechimining turg‘unligini tekshirish masalasi, uning nol, ya’ni yechimining turg‘unligini tekshirish masalasiga keltirish mumkin. Buning uchun

(1.6)

almashtirishdan foydalanamiz. Bu almashtirish natijasida (1.1) differensial tenglama

(1.7)

ko‘rinishni oladi. Bunda ushbu

munosabatning bajarilishini inobatga olsak, (1.7) tenglik quyidagi

(1.8)

ko‘rinishga keladi. Berilgan (1.1) differensial tenglamaning yechimi (1.6) almashtirish natijasida (1.8) tenglamaning nol yechimiga o‘tadi. Endi, (1.8) tenglamani

(1.9)

ko‘rinishdayozamiz. Buholdayechimga, ya’ni nuqtaga (1.9) differensialtenglamalarsistemasiningmuvozanatnuqtasideyiladi. Chunki

.