Buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti "matematika" kafedrasi

1-masala.

Havo bosimini dengiz sathiga nisbatan balandlikka bog’liq ravishda aniqlang.

Yechish. Dengiz sathidan hisoblangan balandlik h (m) , havo bosimi esa p (N/m²) bo’lsin. Masala bosimning balandlikka bog’liqligini ko’rsatuvchi p=p(h) funksiyani topishdan iborat. Dengiz sathida joylashgan 1 m² yuzga ega gorizontal kvadrat maydonchaga tayangan prizmatik havo ustunini qaraylik.

Agar h balandlikda qaralayotgan ustunning kesimini o’tkazsak, u holda bu kesimdagi havoning bosimi ustuning kesimidan yuqoridagi qismining og’irligi bilan aniqlanadi. Ikkinchi gorizontal kesimni h+Δh balandlikda o’tkazaylik. Bu kesimdagi havo bosimi ikkala kesim orasidagi ustunda bo’lgan havo og’irligiga teng Δp miqdorga kichik bo’ladi. Shuning uchun

Δp=-qΔh

deb yozish mumkin, bu yerda q kattalik bosimidagi bir kubometr havoning og’irligi. Lekin q kattalikning o’zi proporsional. Haqiqatan ham, q₀ bir kubometr havoning p₀= 1(N/m²) bosimdagi og’irligi bo’lsin. Boyl- Mariott qonuni

pV=p₀V₀ ga binoan bunday miqdordagi havo bosimda V=1/p kubometr hajmga ega bo’lib , avvalgicha q_o(H) og’irlikda bo’ladi. U holda bir kubometr havoning q og’irligi q=q_op ga yoki, umuman, q=kp ga teng bo’ladi (k- proporsioanallik koeffitsiyenti). Shunday qilib, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:

Δp=-kpΔh (1)

Bu tenglik h va h+Δh orasidagi hamma kesimlarda bosim o’zgarmas va p ga teng deb hisoblangan farazga asoslanib chiqarilganligi uchun aniq emas. Aslida esa bu kesimlarda bosim turlicha bo’lib, h ortishi bilan u kamayadi.

Dengiz sathi

Biroq p=p(h) funksiyanini uzluksiz deb faraz qilish tabiy bo’lganligi uchun (1) tenglikning xatosi unchalik ham katta bo’lmaydi va Δh kattalik qanchalik kichik bo’lsa , u shunchalik kichik bo’ladi. Endi (1) tenglikning ikkala tomonini Δh ga bo’lib

Δh da limiyga o’tsak , undagi xatolik ham nolga intiladi va biz aniq tenglikka ega bo’lamiz:

(2)

Bu tenglik p(h) funksiya va uning hosilasini bog’lovchi differensial tenglamadir . Bu tenglamaning yechimi havo bosimi p ning h balandlikka bo’liqligini ifodalovchi funksiyadan iborat. Nihoyat (2) tenglamani bir mata integrallab va h=0 da p=p_o berilgan qiymatini e’tiborga olib , havo bosimi p ning dengiz sathidan balandlik h ga bog’liqligi

p=p_oe^-kh

formula bilan ifodalanishiga ishonch hosil qilish mumkin.

Hozirgi kunda biz barcha fanlar qatori xorijiy tillar , jumladan, ingliz tilini ham mukammal ravishda o’rganib bormoqdamiz. Zero , limning chek-u chegarasi yo’q qanchalik ko’p o’rgansak ham o’z tilimizdagi, ham boshqa tillardagi adabiyotlarni shunchalik fikrlashimiz ortib boraveradi. Quyida differensial tenglamalarning ingliz tilidagi yechimiga doir misollardan namunalar keltiramiz: