Buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti "matematika" kafedrasi

Ta’rif. x erkli o’zgaruvchi, shu o’zgaruvchining у funksiyasi va y ' hosilani bog’lovchi

F(x,y, )=0 (2)

munosabat birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.

Agar bu tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa ya’ni

yoki (3)

Tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.

Agar (2) munosabatda y ni funksiya bilan almashtirsak, natijada

F(x, , )=0 ayniyat hosil bo’lsa ,

Bunda funksiya R² tekislikning G sohasida aniqlangan bo’lsin. . Agar J (ochiq, yopiq ,yarimochiq ) intervalda aniqlangan y= funksiya uchun quyidagi 3 ta shart :

1. 
   (x, ) G
   
2. 
   C¹(J)
   
3. 
   x, ) , x J
   

bajarilsa, u holda bu funksiya J intervalda (3) tenglamaning yechimi deyiladi.

Agar

funksiya (5) tenglamani qanoatlantirsa unga tenglamaning umuniy yechimi deyiladi. Bunda c- ixtiyoriy o’zgarmas son (parametr) . Ba’zi vaqtlarda umumiy yechim oshkormas

F(x, y, c)=0

Ravishda berilishi mumkin. yechimga tenglamaning mumiy integrali deyiladi.

Koshi masalasi.

tenglama uchun Koshi masalasi deb , x=x₀ bo’lganda y(x₀)=y₀ shartni qanoatlantiruvchi yechimni topishga aytiladi. Boshqacha aytganda, tenglamaning shunday yechimini topish kerakki, f(x₀, y₀) nuqtasidan o’tsin. Koshi masalasini yechish uchun dastavval berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi y= topiladi so’ngra x=x₀ y(x₀)=y₀ boshlang’ich shartlar yordamida parametr c ning qiymati c=c₀ aniqlanadi.

y= yechimdagi c o’rniga c₀ qo’ysak koshi shartni qanoatlantiruvchi y= yechimga ega bo’lamiz.

Ta’rif. yoki differensial tenglamaning Koshi masalasini qanoatlantiruvchi y=y(x) yechimi xususiy yechim deyiladi. Ya’ni boshqacha qilib aytganda, barcha nuqtalarida yagonalik sharti bajarildigan yechim xususiy yechim deyiladi.

Ta’rif. Barcha nuqtalarida yechimning yagonalik sharti buziladigan yechim maxsus yechim deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, yoki differensial tenglamaning munosabat o’z ichiga olmagan yechimlari maxsus yechimlar deb ataladi. Differensial tenglama nazariyasida differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish asosiy masala hisoblanadi. Agar differensial tenglamaning yechimini elementlar funksiyalar va ularning integrallari yordamida yozish mumkin bo‘lsa, u holda differensial tenglama kvadraturalarda integralandi deyiladi.

Birinchi tartibli differensial tenglamani yechish haqida so’z yuritar ekanmiz shu o’rinda uning yechimlari haqidagi muhim teoremani keltirish joiz.