Book · January 014 citations reads 6,156 authors: Some of the authors of this publication are also working on these related projects

 
 

---

- 39 - 
Ечиш: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

- 40 - 
4. 
ВЕКТОРЛАР НАЗАРИЯСИ 
Йўналишга эга бўлган кесмага вектор деб аталади ва
ёки 
кўринишларда 
белгиланади. Бу ерда, 
ларга 
векторнинг мос 
равишда 
координата ўқларидаги проекциялари деб 
аталади.
 
 
4.1. ВЕКТОРЛАРНИ ҚЎШИШ 
 
Бир неча векторларнинг йиғиндиси деб, шу 
векторлардан тузилган синиқ чизиқларни туташтиришдан 
ҳосил бўлган 
 
векторга айтилади. 
 
4.2. ҚЎШИЛУВЧИ ВЕКТОРЛАРНИНГ ХОССАЛАРИ 
 
1
0
 
Векторларни қўшиш учун ўрин алмаштириш қонуни 
ўринли.
. 
2
0
Векторларни қўшиш учун группалаш қонуни ўринли. 
.
3
0
Векторни скаляр сонга кўпайтирганда тарқатиш қонуни 
ўринли. 
. 
1
a

4
a

3
a

2
a

O
a


---

- 41 - 
4.3. ИККИ ВЕКТОРНИНГ ЙИҒИНДИСИ 
 
ва 
векторларнинг йиғиндиси деб, бу векторларга 
қурилган параллелограмнинг умумий учидан чиқувчи 
диагонали(катта диогнали)га айтилади.
 
.
 
4.4
. ИККИ ВЕКТОРНИНГ АЙИРМАСИ
ва 
векторларнинг айирмаси деб, шундай 
векторга 
айтиладики, унинг 
вектор билан йиғиндиси 
векторга тенг 
бўлади, яъни,
.
.
ва 
векторларнинг айирмаси, бу векторларга қурилган 
параллелограмнинг кичик диагоналига тенгдир.
4.5. ВЕКТОРНИ СКАЛЯР СОНГА КЎПАЙТИРИШ. 
 
векторни бирор 
сонга кўпайтмаси деб, шундай 
векторга айтиладики, бу векторнинг модули 
бўлиб, 
йўналиши 
бўлса, 
вектор билан бир хил йўналишда, 
бўлса, 
вектор билан қарама-қарши йўналишда 
бўлади.
a

b

b
a



a

b

b
a




---

- 42 - 
4.6.
ВЕКТОРНИНГ ЎҚДАГИ ПРОЕКЦИЯСИ. 
векторнинг 
тўғри чизиқдаги 
проекцияси(сояси)ни 
билан 
белгилаймиз, 
тўғри 
бурчакли 
учбурчакдан қуйидаги муносабат 
келиб чиқади, яъни
. 
Бу ерда, 
векторнинг узунлиги, 
вектор билан тўғри 
чизиқ орасидаги бурчак, 
эса
 
векторнинг
 
тўғри чизиқдаги 
проекцияси.
Баъзи хусусий ҳолларни кўрсатиб ўтамиз. . 
 
 
 
a

)
0
(




a

)
0
(




a

a


---

- 43 - 
4.7.
ВЕКТОРНИНГ ТЕКИСЛИКДАГИ ПРОЕКЦИЯСИ. 
Текисликда боши
ва охири 
нуқталарда 
бўлган 
векторнинг 
координаталар 
ўқидаги 
проекциялари:
 
, 
 
4.8
. ВЕКТОРНИНГ УЗУНЛИГИ. 
 
векторнинг узунлиги қуйидаги тенглик ёрдамида
аниқланади ва
каби белгиланади.

(текисликда),
 
 

(фазода). 
 
4.9
. ВЕКТОРНИНГ КООРДИНАТА ЎҚЛАРИДАГИ
ПРОЕКЦИЯСИ. 
 
Агар 
векторнинг координата ўқлари билан ҳосил қилган 
бурчаклари мос равишда 
ва
га тенг бўлса, у ҳолда 

---

- 44 - 
векторнинг координата ўқларидаги проекциялари мос 
равишда қуйидагича бўлади. 
 
 
4.10.
ВЕКТОРНИНГ ЙЎНАЛТИРУВЧИ КОСИНУСЛАРИ. 
векторнинг йўналтирувчи косинуслари векторнинг 
координата 
ўқларидаги 
проекциялари 
формуласидан 
топилади. 
,
,
. 
 
векторнинг йўналтирувчи косинуслари учун қуйидаги 
тенглик ўринли. 
 
. 
 
4.11
. БИРЛИК ВЕКТОР. 
Узунлиги 1 га тенг бўлган вектор бирлик вектор деб 
аталади. Ушбу 
, 
, 
векторлар 
бирлик векторлардир. Одатда 
бирлик векторларга, 
векторнинг йўналиши билан бир хил бўлган ҳамда мос 
равишда 
координата ўқларидаги орт векторлари 
(ортлари) деб аталади. Ихтиёрий 
векторни ўзининг ортлари 
орқали қуйидагича ифодалаш мумкин:

---

- 45 - 
.
 
4.12
. ВЕКТОРНИНГ ОРТ ВЕКТОРИ. 
векторнинг орт вектори деб, қуйидаги бирлик векторга 
айтилади ва
каби белгиланади. 
 
ёки
 
4.13.
ВЕКТОРЛАРНИНГ СКАЛЯР КЎПАЙТМАСИ 
Таъриф:
Нолга тенг бўлмаган иккита 
ва 
векторларнинг скаляр кўпайтмаси деб, шу векторлар 
узунликларининг, 
улар 
орасидаги 
бурчак 
косинусига 
кўпайтмасига айтилади.
 
 
) 
.
х 
0 

k
 

i
 

j
 
z 
у 
1 
1 
1 
O
b


cos
b

a

A
B
C

)
)
1
,
0
,
0
(
)
0
,
1
,
0
(
)
0
,
0
,
1
(






k
j
i

---

- 46 - 
Чизмада 
кўриниб 
турибдики, 
векторнинг 
проекцияси 
таърифига кўра, 
векторнинг 
вектордаги проекцияси 
га тенг ва аксинча, 
векторнинг 
вектордаги 
проекцияси
га тенг бўлади.
Шу сабабли скаляр кўпайтмани қуйидаги кўринишда ҳам 
ёзишимиз мумкин. 
) 
. 
Скаляр кўпайтманинг геометрик маъноси, биринчи 
векторнинг иккинчи вектордаги проекциясини ифодалайди. 
) 
ёки 
) 
ва ўз навбатида,
ва
ёки 
ва
. 
4.14
. ПРОЕКЦИЯГА ДОИР ҚЎШИМЧА ФОРМУЛАЛАР 
 
,
, 
,
, 
,
. 
 
 

---

- 47 - 
 4.15.
СКАЛЯР КЎПАЙТМАНИНГ ХОССАЛАРИ 
 
1
0
. 
)
,
2
0
. 
, 
3
0
. 
, 
4
0
. 
ва
. 
 
4.16.
ПРОЕКЦИЯЛАРИ БИЛАН БЕРИЛГАН 
ВЕКТОРЛАРНИНГ СКАЛЯР КЎПАЙТМАСИ. 
 
Иккита
 
ва 
векторлар ўзларининг орт (яъни бирлик) векторлари билан 
берилган бўлсин. Бу векторларнинг скаляр кўпайтмаси 
қуйидаги тенглик билан аниқланади. 
)
 
 
4.17
. ВЕКТОРЛАР ОРАСИДАГИ БУРЧАК.
 
Векторларнинг скаляр кўпайтмасидан 
фойдаланиб, иккита 
ва 
векторлар 
орасидаги бурчакни топиш формуласини 
келтирамиз. 
 
 


a

b
P
 

---

- 48 - 
◙
Иккита 
ва 
векторларнинг
перпендикулярлик шарти
ёки 
 
4.18.
ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОР КЎПАЙТМАСИ 
 
Иккита
ва
векторларнинг вектор кўпайтмаси деб, 
шундай 
векторга айтиладики, бу вектор қуйидаги шартларни 
қаноатлантиради:
 
вектор 
ва
векторларга перпендикуляр яъни, 
ва 
.
Бу шарт, вектор кўпайтма 
, 
ва 
векторлар 
ётган текисликка перпендикулярлигини билдиради. 
вектор орасидаги бурчак. Бу 
шарт 
векторнинг узунлиги томонлари 
ва 
векторлардан 
иборат параллелограммнинг юзига тенглигини билдиради. 
,
,
векторлар ўнг боғлам ҳосил қилади. Бу шартда
векторнинг йўналишини шундай олиш мумкинки, 
вектор 
учидан қараганда 
вектордан 
векторга қараб бурилиш 
соат стрелкасига қарама-қарши йўналишда бўлиши керак.
Вектор кўпайтма 
ёки
каби белгиланади. 
2




b

a

---

- 49 - 
4.19.
ВЕКТОР КЎПАЙТМАНИНГ ХОССАЛАРИ 
 
1
0
. 
,
2
0
. 
, 
3
0
. 
, 
4
0
. 
, 
5
0
. 
, 
, 
ва
, 
,
 
4.20.
ПРОЕКЦИЯЛАРИ БИЛАН БЕРИЛГАН 
ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОР КЎПАЙТМАСИ. 
 
Проекциялари билан берилган иккита 
ва 
векторларнинг вектор кўпайтмаси 
қуйидаги формула ёрдамида аниқланади:
 
 
ёки,
.
 

---

- 50 - 
◙
Иккита 
ва 
векторларнинг коллинеарлик(параллеллик) 
шарти: 

 
. 
◙
Иккита 
ва 
векторларга қурилган параллелограммнинг 
кичик диганолини топиш формуласи:
. 
◙
Иккита 
ва 
векторларга қурилган параллелограммнинг 
катта диганолини топиш формуласи: 
. 
◙
Иккита 
ва 
векторларга қурилган параллелограммнинг 
юзини топиш формуласи:
. 
◙
Иккита 
ва 
векторларга қурилган учбурчакнинг юзини
топиш формуласи: 
. 
 
4.21.
ВЕКТОРЛАРНИНГ АРАЛАШ КЎПАЙТМАСИ 
 
Учта 
 
, 
, 
векторларнинг аралаш кўпайтмаси деб, 
ва 
векторларни вектор кўпайтмасининг 
векторга скаляр 

---

- 51 - 
кўпайтмасига айтилади ва 
ёки 
каби 
белгиланади.
 
4.22.
АРАЛАШ КЎПАЙТМАНИНГ ХОССАЛАРИ 
1
0
.
2
0
.
Агар учта вектордан иккитаси тенг бўлса ёки параллел 
бўлса, аралаш кўпайтма нолга тенг бўлади.
3
0
.
, 
, 
векторлар компланар бўлса,
бўлади.
 
4.23. 
ПРОЕКЦИЯЛАРИ БИЛАН БЕРИЛГАН 
ВЕКТОРЛАРНИНГ АРАЛАШ КЎПАЙТМАСИ. 
 
Проекциялари билан берилган учта 
,
ва 
 
векторларнинг 
аралаш кўпайтмаси, ушбу учунчи тартибли детерминант 
ёрдамида топилади.
. 
◙
параллелепипеднинг ҳажми 
◙
учбурчакли пирамиданинг ҳажми 

---

- 52 - 
5.
ТЕКИСЛИКДА АНАЛИТИК ГЕОМЕТРИЯ. 
5.1.
ДЕКАРТ КООРДИНАТАЛАР СИСТЕМАСИ. 
Текисликда ўзаро иккита перпендикуляр тўғри чизиқ 
олайлик. Бу тўғри чизиқларнинг бири горизонтал иккинчиси 
эса вертикал жойлашсин. Бу тўғри чизиқларнинг кесишиш 
нуқтасини 
деб белгилаймиз ва уни 
координаталар 
боши
деб атаймиз. Горизонтал тўғри чизиқ 
-
абсцисса ўқи, 
вертикал тўғри чизиқ 
-
ордината ўқи
деб аталади. Одатда
ва 
ўқлари битта ном билан координата ўқлари деб 
аталади. Координата ўқлари текисликни тўртта қисмга 
(чоракка) ажратади.
Энди 
текислигида ихтиёрий 
нуқтани қарайлик. Бу нуқтадан 
ва 
ўқларига перпендикуляр 
тушириб, уларнинг 
ва 
ўқлари 
билан кесишиш нуқталарини 
ва 
лар билан белгилаймиз.
ва 
кесмаларнинг узунликлари
нуқтанинг координаталари дейилади.
га
 
нуқтанинг абсциссаси дейилади.
га
 
нуқтанинг ординатаси дейилади. 
текислиги Декарт координаталар системаси дейилади.
ва 
ларга 
 
нуқтанинг координаталари дейилади.