Bo‘linish belgilari. Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi 1-ta’rif

Isbot. Mavjudligi. son dan katta bo‘lmagan, ga bo‘linuvchi eng katta natural son bo‘lsin, u holda

Bu tenglikning ikkala qismiga ni qo‘shsak,

hosil bo‘ladi. Agar

deb olsak, ni hosil qilamiz.
Yagonaligi. Faraz qilaylik,


munosabatlar o‘rinli bo‘lsin. U holda bu tengliklarning ayirmasidan

kelib chiqadi.
Bundan, hosil bo‘ladi, demak, kelib chiqadi. Lekin bo‘lgani uchun shart faqatgina ya’ni bo‘lgandagina bajariladi. Bundan esa ekanligi kelib chiqadi. 
Teoremadagi tenglikka sonlarni qoldiqli bo‘lish va undagi songa bo‘linma, songa esa qoldiq deyiladi.
Misol 1. –197 ni 11 ga qoldiqli bo‘lsak, , bu yerda , .
Qoldiqli bo‘lish haqidagi teoremaga asosan quyidagi tenglikliklari yozish mumkin.
(34.2)  
Bu tengliklarning o‘ng tomonidagi tengsizliklarga e’tibor bersak, quyidagi tengsizliklar bog‘lanishi ko‘zga tashlanadi:

bu yerda barcha lar natural sonlardir. Natural sonlar quyidan chegaranganligi tufayli biror-bir nomerdan boshlab bo‘ladi.
tengliklar sistemasiga Yevklid algoritmi deb yuritiladi.
Misol 2. 2576 va 154 sonlar uchun Yevklid algoritmini tuzamiz: