Bob. Chiziqli fazo 6 Chiziqli fazo ta'rifi va xossalari 6

ax + /Зу +... + yz = 0

bo'lsa.

8

Chiziqli bog'liq bo'lmagan x,y,...,z elementlari chiziqli erkli elementlar deyiladi.

3. 
   ta'rif. R fazoning x,y,...,z elementlari chiziqli erkli deyiladi, agarda (1) chziqli kombinatsiya faqat a = (3 = ... = y = 0 bo'lgandagina fazoning nol elementiga teng bo'lsa.
   

3. 
   teorema. R fazoning x,y,...,z elementlari chiziqli bog'liq bo'lishi uchun bu elementlardan biri qolganlarining chziqli kombinatsiyasidan iborat bo'lishi zarur va etarli.
   

1. 
   tasdiq. Agar x,y,...,z elementlar ichida nol element bo'lsa, u holda bu elementlar chiziqli bog'liq bo'ladi.
   
2. 
   tasdiq. x,y,...,z elementlarning biror qismi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda bu butun sistema ham chiziqli bog'liq bo'ladi.
   

Aⁿ fazo elementlarining chziqli bog'liqligi masalasini qaraylik.Bu fazodagi quyidagi

e₁₌a 0, 0,..., 0),

e₂ = (0, 1, 0,..., 0),

(2) е_я=(0, 0, 0,..., 1)

elementlar chiziqli erkli ekanligini va ularga ixtiyoriy x = (x₁,x₂,..._Tx_n) elementni qo'shganda chiziqli bog'liq bo'lishini isbotlaymiz.

2. 
   ni biror or,, or₂,... ,a_n sonlar bilan olingan chiziqli kombinatsiyasini qaraylik.
   

oc_le_l+a₂e₂+... + a_ne_n =(ц,а₂,. ..,a_n) bu element faqat а_л =a₂ = ... = a_n = 0 bo'lgandagina nolga teng bo'ladi. Demak,

2. 
   elementlar chiziqli erkli.
   

Endi esa (2) ga ixtiyoriy x = (x₁,x₂,..._Tx_n) elementni qo'shganda chiziqli bog'liq bo'lishini ko'rsataylik. 1-teoremaga ko'ra x-(x₁,x₂,..._rx_n) element (2) elementlarni chiziqli kombinatsiyasi bo'lishini ko'rsatish etarli. Bu ravshan, aksiomalarga ko'ra

x = (x,,x₀,...,x ) = x,e, + x₀e₀ + ... + X e .

Vl^?2^{? ?} n ' 11 22 n n


9

4. 
   ta'rif. R fazoning chiziqli erkli e_x,e₂,...,e_n elementlari to'plami bu
   

fazoning bazisi deyiladi, agar bu R fazoning har bir x elementi uchun shunday haqiqiy x₁,x₂,...,x_n sonlar topiladiki , ular uchun

x = x.e.+x.e.+... + X e (3)

1122 n n V /

bo'lsa.

Bu x elementni e_x,e₂,...,e_n bazis bo'yicha yoyilmasi deyiladi. x_x,x₂,...,x_n sonlar esa x elementni (e_x,e₂,...,e_n bazis bo'yicha) koordinatalari deyiladi.

4. 
   teorema. R fazoning ikkita elementini qo'shish uchun (bu fazoning ixtiyoriy bazisida) ularni mos koordinatalari qo'shiladi, elementini A songa ko'paytirish uchun uning barcha koordinatalari A songa ко'paytiriladi.
   

2. 
   Chiziqli fazoning o'lchovi va izomorfligi.
   

1-ta'rif. R chiziqli fazo n o'lchovli deyiladi, agarda unda n ta chiziqli erkli element mavjud , ixtiyoriy n +1 ta elementi esa chiziqli bog'liq bo'lsa.

R fazoning o'lchovi odatda dimR orqali belgilanadi.

2. 
   ta'rif. R chiziqli fazo cheksiz o'lchovli deyiladi, agarda unga ixtiyoriy sondagi chiziqli erkli elementlar mavjud bo'lsa.
   

1. 
   teorema. Agar R n o'lchovli chiziqli fazo bo'lsa, u holda bu fazoning
   

ixtiyoriy n ta chiziqli erkli elementlari bazis tashkil etadi.

2. 
   teorema. Agar R fazoda n ta elementdan iborat bazis mavjud bo'lsa,u holda R fazoning o'lchovi n ga teng.
   
3. 
   ta'rif. Ikkita haqiqiy R va R' chiziqli fazolar izomorf deyiladi, agarda bu fazolar elementlari orasida o'zaro bir qiymatli shunday moslik o'rnatish mumkin bo'lsaki, agar R fazoning x va у elementlariga R' fazoning x' va y' elementlari mos kelsa, u holda R fazoning x + y elementiga R^f fazoning x' + y' , Ax elementiga Ax' element mos kelsa.
   

Ko'rish qiyin emaski, agar R va R' chiziqli fazolar izomorf bo'lsa , u holda

1. 
   R fazoning nol elementiga R' fazoning nol elementi mos keladi;
   

10

2. 
   ulardagi maksimal chiziqli erkli elementlar soni bir xil ya'ni ularning o'lchovi teng.
   

3. 
   teorema. Ikkita n o'lchovli R va R' chiziqli fazolar izomorf bo'ladi.
   

Faraz qilaylik, R fazoning L qism to'plami quyidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   Agar x va у elementlar L qism to'plamga tegishli bo'lsa , u holda x + y element ham shu qism to'plamga tegishli.
   
2. 
   Agar x element L qism yotsa va Я biror haqiqiy son bo'lsa, u holda Ax ham bu qism to'plamga tegishli.
   

Ko'rish qiyin emaski, 1 va 2 xossalar bajarilgan L qism to'plamni o'zi ham chiziqli fazo bo'ladi.

4. 
   ta'rif. 1 va 2 shartlarni bajaruvchi R fazoning L qism to'plami R fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi.
   

Misollar. 1.Faqat nol elementdan tashkil topgan R fazoning qism to'plami.

2. 
   R fazoning o'zi.
   

Bu ikki qism fazo xosmas qism fazolar deyiladi.

2. 
   C[a,b] dagi darajasi n dan katta bo'lmagan algebraik ко'phadlaming to'plami , C[a,b] ning qism fazosi bo'ladi.
   
3. 
   B₃ dagi biror tekislikka parallel bo'lgan erkin vektorlarning B₂ qism to'plami.
   
4. 
   x,y,...,z elementlar R fazoning elementlari bo'lsin.
   

x,y,...,z elementlarning chiziqli qobig'i deb, bu elementlarning barcha chiziqli

kombinatsiyalai to'plamiga aytamiz, ya'ni ax + fiy +... + yz

ко'rinishdagi elementlar to'plamiga aytiladi. Bunda у lar ixtiyoriy sonlar.

x,y,...,z elementlarning chiziqli qobig'ini L(x,y,...,z) orqali belgilaymiz. Ravshanki, L(x,y,..., z) chiziqli qobiq uchun 1 va 2 shartlar bajariladi. Shu sababli ixtiyoriy chiziqli qobiq R fazoning qism fazosi bo'ladi.

x,y,...,z elementlarning chiziqli qobig'i shu elementlarni o'z ichiga oluvchi eng kichik qism fazo bo'ladi.


11

Chiziqli qobiqqa misol bo'lib, C[a,b] dagi 1, t, 1²,...fⁿ elementlarning chiziqli

qobig'i misol bo'ladi. Bu chiziqli qobiq {P_n(t)}~ darajasi n dan katta bo'lmagan algebraik ko'phadlarning to'plamidan iborat.

Ravshanki, R fazoning har qanday qism fazosining o'lchovi bu fazo o'lchovidan katta emas.

Agar L qism fazo butun n o'lchovli R chiziqli fazo bilan ustma-ust tushmasa, u holda L ning o'lchovi n dan kichik bo'ladi.

Ko'rish mumkinki, butun R fazoda e_x,e₂,...,e_n bazis tanlangan bo'lsa, u holda ularni L qism fazoning bazisi sifatida olish mumkin emas (ba'zi e lar L da yotmasligi ham mumkin), lekin teskari tasdiq o'rinli.

Tasdiq. Agar e_x,e₂,...,e_k elementlar n o'lchovli fazoning к o'lchovli qism fazosida bazis tashkil etsa, u holda bu bazisni R ni е_к+1,е_к+2,...,е_п elementlari orqali shunday to'ldirish mumkinki hosil bo'lgan e_x,e₂,...,e_n elementlar to'plami R da bazis bo'ladi.

5. 
   teorema. x,y,...,z elementlarning L(x,y,...,z) chiziqli qobig'i o'lchovi x,y,...,z elementlar sistemasining maksimal chiziqli erkli soniga teng. Xususan agar elementlar x,y,...,z elementlar chiziqli erkli bo'lsa, u holda L(x,y,...,z) chiziqli qobiqning o'lchovi x,y,...,z elementlar soniga teng.
   

Qism fazoning yig'indisi va kesishmasi.

L_x va L₂-R fazoning ikkita ixtiyoriy qism fazosi bo'lsin. R fazoning bir paytda L va L₂ da yotuvchi x elementlari to'plami R fazoning qism fazosi bo'ladi va u L va L₂ fazolarning ko'paytmasi deyiladi.

R fazoning barcha y + z ko'rinishdagi elementlari to'plami, bunda у L_x fazoning elementi z esa L₂ fazoning elementi R fazoning qism fazosi bo'ladi va u L va L₂ fazolarning yig'indisi deyiladi.

Misol. R uch o'lchovli fazodagi barcha erkin vektorlarning chiziqli fazosi, L Oxy tekislikka parallel bo'lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi, L₂ esa Oxz

12

tekislikka parallel bo'lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi bo'lsin. U holda L va L₂ fazolarning yig'indisi R fazoning o'zidan, fazolarning kesishmasi esa Ox o'qiga parallel bo'lgan barcha erkin vektorlar to'plamidan iborat.

6-teorema. Chekli o'lchovli R chiziqli fazoning L va L₂ qism fazolarining o'lchovlarining yig'indisi, ushbu qism fazolar kesishmasi va yig'indisini o'lchovlari yig'indisiga teng.

3. 
   Chiziqli fazoni qism fazolarning to'g'ri yig'indisiga yoyish.
   

L va L₂ n o'lchovli R fazoning qism fazolari bo'lsin.

1. 
   ta'rif. R fazo L va L₂ qism fazolarning to'g'ri yig'indisi orqali ifodalanadi deyiladi, agarda R fazoning har bir x elementi yagona usul bilan
   

x = x₁ + x₂


ko'rinishda ifodalansa. Bunda x_x L fazoning x₂ esa L₂ fazoning elementi.

Buhol R = L_X ®L₂ ko'rinishda belgilanadi. Oxirgi tenglik R fazoning L_x va L₂ fazolarning to'g'ri yig'indisiga yoyilmasi deyiladi.

R uch o'lchovli erkin vektorlar fazosi, L esa Oxy tekisligiga parallel bo'lgan barcha vektorlar fazosi L₂ esa Oz o'qiga parallel bo'lgan barcha vektorlar fazosi bo'lsa, u holda R L₁ va L₂ fazolarning to'g'ri yig'indisidan iborat bo'ladi.

Teorema. n o'lchovli R fazo L va L₂ qism fazolarning to'g'ri yig'indisidan iborat bo'lishi uchun , ularning kesishmasi faqat nol elementdan va R ni o'lchovi L va L₂ fazolar o' lchovlari yig' indisidan iborat bo'lishi etarli.

Endi n o'lchovli chiziqli fazoda bazis o'zgarganda koordinatalarni o'zgarishi va bazislarni almashtirishni qaraylik.

e,e₂,...,e_n va e\,e\ ,...,e\ lar n o'lchovli R chiziqli fazodagi 2 ta ixtiyoriy bazislar

bo'lsin. R fazoning ixtiyoriy elementi har ikki bazis orqali ham ifodalanadi. Faraz qilaylik e\,e\ ,...,e\ elementlar e_x,e₂,...,e_n lar orqali quyidagicha ifodalansin:

13





е, = а,,е, + а„е_п +... + а, е .

0. 
   111 12 2 1 п п -
   

е_п = а_п,е, + а_ппе_п + ... + а_п е .

2 21 1 22 2 2п п -

(1)


е = а + а _пе_п +... + а е

п «11 п 2 2 пп п


U holda birinchi e.,e,.,e bazisdan el,el

12 ^?n 1^2


quyidagi ko'rinishda bo'ladi:


A =


a_u ^ai2


^a2l ^a22


a


1n


a


_va. a ₉ ... a ,

• 
  n1 n2 nn /
  

,e\ bazisga o'tish matritsasi


(2)


Bu matritsaning d determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga o'tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo'ladi. Ma'lumki, A matritsaga

teskari matritsa

В


A_n / d A₂₁ / d

^AJ ^{d A}22^{/ d}


A, /d\

n 1

A / d

n 2


_yA /d A /d ... A /d

• 
  1 n 2 n nn ,
  

A - esa A matritsaning a elementining algebraik to'ldiruvchisi.

1. 
   ning birinchi tenhligini A_ly. ga, ikkinchisini A_2; ga va hakazo n -sini esa A_nj ko'paytirib, so'ngra ularni qo'shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
   

n

c. A,. + A₉.+... + £ A = 6 (ci. A,. + q~. . A₉. + + ci A )

11; 2 2] n nj / j i V h 1 j 21 2j m nj /

i= 1

/ - ustun elementlarini mos j - ustun algebraik to'ldiruvchisiga ko'paytmalari yig'indisi i Ф j bo'lganda nolga tengligini hisobga olsak ( / = j da d gateng) Oxirgi tenglikdan

el A,. + el A, .+...+ e^l A = e d

1. 
   U 2 2] n nj j
   

bundan


14



А , А. , ^4 , е.=^ё+^ё₂+....+^ё, j= 1,2,...,и ^J d d ² dⁿ


yoki


^e!+^e\ +.... + ^-ё. d ¹ d ² d ”

1. 
   d ² "" (4)
   

A, , v4₉ , A ,