Bob. Chiziqli fazo 6 Chiziqli fazo ta'rifi va xossalari 6

П 7 1 7 2 7 П

d d d

4. 
   formula e\,e\ ,...,e\ bazisdan e_x,e₂,■■■£„ bazisga o'tish matritsasi A matritsaga
   

teskari matritsa orqali o'tishni ifodalaydi. Bu A matritsaga teskari matritsani A ¹ orqali belgilaymiz.

Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat.

Maxsusmas (2) matritsa orqali e_x,e₂,...,e_n bazisdan e\,e\ ,...,e\ bazisga o'tilgan

bo'lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo'lsin. (x_x,x₂,...x_n) esa uni

e,e₂,...,e_n bazisdagi koordinatasi (x\,x\,...,x\) esa e\,e\ ,...,e\ bazisdagi

koordinatasi bo'lsin, ya'ni

x = x\e\ + x\e\ +... + x¹ e¹ = x.e, + x₂e₂ +... + x e

11 22 n n 11 22 n n

e,e₂,...,e„ lar o'rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo'yib

A A A

x = x\e\ + x\e\ +... + xV = x (~±ё + ^ё₂ +... + ^ё) +

11. 
    22 n n IV7I 7 2 7 n/
    

d d d

+ х₂(^ё+^ё₂+...+^ё) + ...+х (^ё+^ё₂+...+^ё).

2. 
   V 7 1 7 2 1 П У n \ 1 1 7 2 ins
   

d d d d d d

Oxirgi tenglikdan e\,e\ ,..., e\ bazis bo'yicha yagona yoyilma o'rinli ekanligidan (x_x,x₂,...x_n) koordinatadan (x\,x\ ,..,x\) koordinataga o'tish formulasi kelib chiqadi:

15

х¹ = —х + X +.... + ^-х ,

¹ d d ² d ”

1. 
   _ Al_ ₊ Al у _{+ +}
   
2. 
   d ¹ d ² d ⁿ (5)
   

, A, A ₇

X¹ = —— X, + -^x₉ +.... + ——X

n 1 1 7 2 7 П

d d d


Tasdiq. Ixtiyoriy maxsusmas /I matritsa uchun teskari ^ ¹ matritsa yagonadir. Isboti. Faraz qilaylik, yana bir С matritsa mavjud va

AC = CA = E

bo'lsin. U holda

CAA¹=C(AA¹) = CE = C CAA-¹ = (CA)A~¹ = EA~^X = A'¹

bundan С = A^¹ kelib chiqadi.

4. 
   Evklid fazosi va uni sodda xossalari.
   

R haqiqiy chiziqli fazo haqiqiy evklid fazosi ( yoki evklid fazosi) deyiladi agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   Ushbu fazoning ixtiyoriy ikkita x va y elementlariga ularni skalyar ko'paytmasi deb ataluvchi (x, y) haqiqiy sonni mos qo'yish qoidasi berilgan bo'lsa.
   
2. 
   Ushbu aniqlangan skalyar ko'paytma quyidagi to'rtta aksiomani qanoatlantirsa:
   

1. 
   (x,y) = (y,x) (o'rin almashtirishlik va simmetriklik xossasi).
   
2. 
   (x_x +x₂,y) = (x₁,y) + (x₂,y) (tarqatishxossasi).
   
3. 
   (Ax,y) = A(x,y) barcha haqiqiy X lar uchun.
   
4. 
   (x,x)>0, agarda x- noldan farqli element bo'lsa; (x,x) = 0, agar x- nol element bo'lsa.
   

16





Agar o'rganiladigan ob'ektlar va yoqorida sanalgan qoidalar berilgan bo'lsa , u holda evklid fazosi konkret (aniq) fazo deyiladi.

Evklid fazosiga misollar keltiramiz.

1. 
   misol. Barcha erkin vertorlarning B₃ chiziqli fazosini qaraylik.Ikkita ixtiyoriy vektorining skalyar ko'paytmasini analitik geometriyaga aniqlanga skalyar ko'paytma kabi kiritaylik( ya'ni bu vektorlar uzunligini ko'paytmasiga ular orasidagi burchak kosinusini ko'paytmasi).U holda ko'rish qiyin emaski skalyar ko'paytmadagi 1- 4 xossalar bajariladi. Demak, B₃ fazo ushbu aniqlangan skalyar ko'paytmaga nisbatan evklid fazosi bo'ladi.
   
2. 
   misol. Barcha a oraliqda aniqlangan va uzluksiz x(l) funksiyalaming C[a,b\- cheksiz o'lchovli chiziqli fazosini qaraylik. Ikkita x(t) va y(t) funksiyalarning skalyar ko'paytmasini bu funksiyalarni ko'paytmasini ( a
   

dan b gacha ) integrali sifatida aniqlaymiz:

b

\x(t)y(t)dt. (1)

a

Sodda ko'rish mumkinki skalyar ko'paytmadagi 1-4 xossalar bajariladi.Demak, C[a,b] fazo ushbu aniqlangan (1) skalyar ko'paytmaga nisbatan cheksiz o'lchovli evklid fazosi bo'ladi.

3. 
   misol. n-o'lchovli chiziqli A" fazo evklid fazosiga misol bo'la oladi.Agarda unda ixtiyoriy ikkita x = (x_l,x₂,...jc_n) va y = (y₁,y₂,...,y_n) vektorlar uchun skalyar ko'paytmani quyidagicha aniqlasak
   

(x, у) = зд + x₂y₂ +... + x_ny_n (2)

Ko'rish qiyin emaski,ushbu kiritilgan skalyar ko'paytma uchun 1- 4 aksiomalar bajariladi.

Bu evklid fazosi ko'p hollarda Eⁿ orqali belgilanadi.

4. 
   misol.Ushbu Aⁿ chiziqli fazoda skalyar ko'paytmani (2) dan farqli ,unga nisbatan umumiy bo'lgan holda kiritaylik.
   

Buning uchun n - tartibli ushbu kvadrat matritsani qaraymiz:


17



А =


4l «12 - «1„^Л


«21 «22 ••• «2и


(3)

Va i а _п ... а У

^v п\ п2 пп^/

Ushbu matritsa yordamida х₁, х₂,... - п o' zgaruvchili bir jinsli ikkinchi tartibli ko'phad tuzamiz:

n n

ЁЁ «**.■**> (⁴)

ik i к '■

2. 
   = 1 k = 1
   

Bunday ko'phad (3) matritsadan tuzilgan kvadtik forma deyiladi. (4) kvadratik forma musbat aniqlangan deyildi, agarda u ,x₂,...,x_n o'zgaruvchilarning hammasi bir vaqtda nol teng bo'lmagan qiymatlarida musbat qiymatni qabul qilsa. Demak, musbat aniqlangan kvadratik forma faqat x_l=x₂=... = x_n=0 bo'lganda nolga teng,boshqa barcha hollarda musbat qiymat qabul qiladi.

(3) matritsa quyidagi ikkita shartni qanoatlantirsin:

1. 
   U musbat aniqlangan (4) kvadratik formani ifodalasin.
   
2. 
   Simmetrik bo'lsin (bosh dioganalga nisbatan) ya'ni barcha / -1,2,..., n va k = \,2,...,n lar uchun a_ik=a_ki shartni qanoatlantirsin.
   

1. 
   va 2- shartlarni qanoatlantiruvchi (3) matritsa yordamida Aⁿ fazodagi ikkitax = (x₁,x₂,..._rx_;]) va y = (y₁,y₂,...,y_n) lar uchun skalyar ko'paytmani quyidagicha aniqlaymiz:
   

n n

= (⁵)

Oson ko'rish mumkinki, bunday aniqlangan skalyar ko'paytma uchun 1-4 arsiomalar bajariladi.

Ta'rif. Chiziqli R fazo normallangan deyiladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   R dagi har bir x element uchun unning normasi ( uzunligi) deb ataluvchi va ||x|| deb belgilanuvchi haqiqiy son mos qo'yadigan qoida aniqlamgan bo'lsin.
   
2. 
   Ushbu aniqlangan qoida uchun quyidagi uchta aksioma bajarilsin:
   

18





1°. |x|>0, agarda х noldan farqli element bo'lsa, |x| = 0 agarda x = 0 element bo'lsa.

2°. ||Лх|| = |Л|||х|| barcha x elementlar va barcha X haqiqiy sonlar uchun.

3°. Ixtiyoriy x va у elemenlar uchun quyiqagi uchburchak tengsizligi yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi

I^х+y\\ - И+HI

tengsizlik o'rinli.


19

II bob. Chiziqli operatorlar.

1. 
   Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari.
   

1. 
   ta'rif. Vva W lar mos ravishda n va m o'lchovli chiziqli fazolar bo'lsin. V ni W ga o'tqazuvchi A operator deb, A: V —» W akslantirishga aytiladiki, u V ning har bir x elementini W fazoning biror y elementiga o'tqazadi.
   
2. 
   ta'rif. Vni W ga o'tqazuvchi A operator chiziqli operator deyiladiki, agarda
   

• 
  ning ixtiyoriy ikkita x_x va x₂ hamda X kompleks son uchun quyidagi shartlar bajarilsa:
  

1. 
   A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂ (operatomi additivligi)
   
2. 
   А(Ях) = ЯАх (operatoming bir jinsligi)
   

Agar W fazo kompleks tekislikdan iborat bo'lsa, u holda Vni W ga o'qazuvchi A chiziqli operator chiziqli forma yoki chiziqli funksional deyiladi.

Agar W fazo V fazo bilan ustma-ust tushsa, u holda Vni V ga o'tqazuvchi chiziqli operator V fazoni chiziqli almashtirishi deyiladi.

A va B Vni W ga o'tqazuvchi ikkita chiziqli operator bo'lsin. Bu operatorlaming A + В yig'indisi deb quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga aytamiz:

(A + B)x = Ax + Bx (1)

A operatoming X skalyarga ko'paytmasi ЯА deb , quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga aytiladi:

(AA)x = Л(Ах) (2)

O nol operator deb, V fazoning barcha elementlarini W fazoning nol elementiga o'tqazuvchi operatorga aytiladi:

Ox-O.

A operatorga qarama-qarshi operator deb quyidagicha aniqlangan - A operatorga aytiladi:

-A = (-T)A.


20

Tasdiq. Barcha Vni W ga o'tqazuvchi operatorlarning L(V,W) to'plami yuqorida aniqlangan operatorlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari hamda tanlangan nol operator va qarama-qarshi operatorlarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.

L(V ,W) to'plamni o'rganamiz.

Aynan yoki birlik I operator deb quyidagi operatorga aytiladi:

Ix = x

(bu erda x-V fazoning ixtiyoriy elementi)

L(V,W) fazoda operatorlarning ko'paytmasi tushunchasini kiritamiz.

L(V,W) fazodagi A va B operatorlarning AB ko'paytmasi deb, quyidagi operatorga aytiladi:

(AB) x = A(Bx) (3)

Umumiy holda

AB Ф BA

L(V,W) fazodagi chiziqli operatorlar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Л(АВ) = (ЛА)В
   
2. 
   (A + B)C = AC + BC
   
3. 
   A(B + C) = AB + AC (4)
   
4. 
   (AB)C = A(BC)
   

4 xossadan L(V,W)fazodagi chekli sondagi operatorlar uchun ko'paytmani aniqlash mumkinligi kelib chiqadi va xususan A operetoming n- darajasi quyidagi formula orqali aniqlanadi:

Aⁿ=AA...A

Ravshanki,

дп+т

munosabat o'rinli.

3. 
   tarif. L(V,V) dagi A operator uchun L(V,V) dagi chiziqli B operator teskari operator deyiladi, agarda
   

21



АВ = BA = I

bo'lsa.

A operatorga teskari operator odatda A~^l orqali belgilanadi, demak ixtiyoriy xeV uchun

A^Ax = x

Shunday qilib, agar A^lAx = 0 bo'lsa, u holda x = 0 bo'ladi, ya'ni agar A teskari operatorga ega bo'lsa, u holda Ax = 0 ekanligidan x = 0 kelib chiqadi. V dan V ga o'tqazuvchi A chiziqli operator o'zaro bir qiymatli deyiladi, agarda ixtiyoriy ikkita har xil x, va x₂ elementlarga har xil y₁ = Ax₁ va y₂ = Ax₂ elementlar mos kelsa.

Agar A operator V dan V ga o'zaro bir qiymatli o'tqazsa, u holda A: V —» V akslantirish V ni V ga akslantiradi,ya'ni har bir у e V element o' zining biror xeV obraziga ega bo'ladi:

У = Ax

Bu faktrni o'rinli ekanligini isbotlash uchun V fazoning n ta chiziqli erkli X,x₂,...x_n elementlarini bu fazoning n ta chiziqli erkli Ax_x,Ax₂,...,Ax_n elementlariga akslanishini ko'rsatish etarli.

x, x₂ ,...x_n lar V fazoning chiziqli erkli elementlari bo'lsin. Agar a₁Ax₁ + a₂Ax₂ +...+a_nAx_n = 0 bo'lsa, u holda A chiziqli operator ekanligidan A(ajJCj + a₂x₂ +... + a_nx_n) = 0 A operator V ni V ga bir qiymatli akslantirish ekanligidan

1. 
   x. + a₀x₀ +...+ a x =0
   

11. 
    11 n n
    

kelib chiqadi.

Olishimizga ko'ra x_x,x₂,...,x_n lar chiziqli erkli. Shu sababli a_x = a₂ =... = a_n = 0. Demak, Ax₁, Ax₂,...,Ax_n elementlar chiziqli erkli.

Tadiq. L(V,V) dagi A chiziqli operator teskari operatorga ega bo'lishi uchun u V ni V ga bir qiymatli o'tqazishi zarur va etarli.


22

4. 
   ta'rif. A chiziqli operatoming yadrosi deb V fazoning Ax = 0 tenglikni bajaruvchi x elementlari to'plamiga aytiladi. A chiziqli operatoming yadrosi kerA orqali belgilanadi. Agar kerA = 0 bo'lsa, u holda A operator V ni V gabir qiymatli o'tqazadi.
   

kerA = 0 shart A operatomi teskari operatorga ega bo'lishini zaruriy va etarli sharti bo'ladi.

5. 
   ta'rif. A chiziqli operatoming obrazi deb V fazoning
   

У = Ax

ko'rinishda ifodalanadigan elementlari to'plamiga aytiladi.

A chiziqli operatoming obrazi imA orqali belgilanadi.

Agar kerA = 0 bo'lsa, imA= V bo'ladi va aksincha. Shu sababli imA = V shart ham A operatorni teskari operatorga ega bo'lishini zaruriy va etarli sharti bo'ladi.

Ravshanki, kerA va imA V fazoning chiziqli fazo ostisi bo'ladi.

3. 
   teorema. V fazoning dimV o'lchovi n ga va A L(V,V) dagi chiziqli operator
   

bo'lsin, u holda dim(imA) + dim(ker A) = n bo'ladi.

4. 
   teorema. V va V₂ lar n o'lchovli V chiziqli fazoning qism fazolari va
   

dim + dim V₂ = dim V bo'lsin, u holda L(V,V) da shunday chiziqli A operator topiladiki, V_x = imA va V₂ = ker,4 bo'ladi.

6. 
   ta'rif. A chiziqli operatoming rangi deb
   

Rang A = dim(imA)

songa aytiladi.

Natija. L(V,V) dagi A chiziqli operator A~^l teskari operatorga ega bo'lishi uchun

RangA = dim V = n

bo'lishi zarur va etarli.

6. 
   teorema. A va B L(V,V) dagi chiziqli operatorlar bo'lsin, u holda rangAB < rangA, rangAB < rangB.
   

23

7-teorema. A va B L(V,V) dagi chiziqli operatorlar va V n o'lchovli

chiziqli fazo bo'lsin, u holda

rcingAB > rcingA + rangB - n

Natija . Agar rangA = n ( n-V fazoning o'lchovi), u holda

rangAB = rangBA = rangB

2. 
   Chiziqli operatorlarni matritsali yozivi.
   

Chiziqli V fazoda berilgan bazisdagi chiziqli operatorlarni matritsalari.

• 
  fazodagi e_x,e₂bazisni fiksirlaymiz, x V dagi ixtiyoriy element va