Bob. Chiziqli fazo 6 Chiziqli fazo ta'rifi va xossalari 6

n

• 
  = E^X4 C¹)
  

k=\

esa bu x elementni berilgan bazisdagi yoyilmasi hamda A esa L(V,V) dagi chiziqli operator bo'lsin u holda (1) dan

n

Ax = J]x^kAe_k (2)


^Aek=T_J^ai^ej (³)


j=i

deb olsak, (2) ni quyidagicha yozamiz:

n n n n

^Ax = !> !>;> =£(£a_;x )e

k=1 j=1 j=1 k= 1

Shunday qilib, y = Ax va v = (У, v²,...,v") elementning koordinatalari bo'lsa u holda

n

IX^х J = \X-,n (4)

k=1

Ushbu A= (aj) kvadrat matritsani qaraylik, bu matritsa berilgan e_x,e₂,...,e_n bazisdagi А chziqli operatorning matritsasi deyiladi. Oldingi ko'rsatilgan usul bilan birgalikda uni berilgan bazisdagi matritsaviy yozuvi ham ishlatiladi:

y = Ax


24

Agar x = (x^l,x²bo'lsa, u holda y = (y¹,y²,...,yⁿ) dagi y¹ j = 1,2,..., n (4) formula orqali A ning cv'_k elementlari esa (3) formula orqali hisoblanadi.

Agar A operator nol operator bo'lsa, u holda bu operatorning A matritsasining barcha elementlari ixtiyoriy bazisda nollardan iborat, ya'ni A matritsa nol matritsa bo'ladi.

Agar A operator birlik operator bo'lsa, ya'ni A = I bo'lsa, u holda bu operatorning ixtiyoriy bazisdagi matritsasi birlik matritsadan iborat bo'ladi, ya'ni A= E.

1. 
   teorema. V chiziqli fazoda e_l,e₂,...,e_n bazis berilgan va A =a^J_k n- tartbli kvadrat matritsa bo'lsin, u holda A shunday yagona chiziqli operator mavjudki, bu A matritsa berilgan bazisda ushbu operatorni matritsasi bo'ladi.
   

A va В matritsalar /? — tartibli kvadrat matritsalar bo'lsin. A va, В V fazoda ularga mos {e_k} bazisdagi operatorlar bo'lsin, u holda teoremaga ko'ra A+/IB matritsaga А + ЯВ operator mos keladi. Bunda Я- biror son.

2. 
   teorema. A chiziqli operatorning rangA rangi matritsasi rangiga teng.
   

1. 
   natija. A va B matritsalar ko’paytmasining rangi quyidagi munosabatlami bajaradi:
   

rangAB < rangA, rangAB < rangB, rangAB > rangA + rangB - n.

2. 
   natija. A operator uchun teskari A~^l operator faqat va faqat A operator matritsasining rangi n ga (n - dim V) teng bo’lgandagina mavjud bo’ladi. Bu holda A matritsaga teskari A ¹ matritsa ham mavjud bo’ladi.
   

Endi yangi bazisga o’tganda chiziqli operator matritsasini almashtirishni qaraylik.

• 
  chiziqli fazo, A esa L(V,V) dagi chiziqli operator e_x,e₂,...,e_n va ~,~,...,~ V
  

dagi 2 ta bazis hamda

n

^_k=llK^en £ = 1,2,..., и (5)

2=1

esa {e_k} bazisdan bazisga o'tish formulasi bo'lsin

25



U = (u‘_k) deb olamiz, rangU = n ga teng. A = (a^J_k) va A = (a£) matritsalar A operatorni [e_i} va {e_k} bazislardagi matritsalari bo'lsin Bu matritsalar orasidagi munosabatni topamiz.

3. 
   teorema. A operatorni {e} va {~} bazislardagi A = (a^J_k) va A = (a£) matritsalari orasida
   

A = lJ-^lAU (6)

munosabat mavjud.

A = ir'AU formulani ikkala tomonini o'ngdan II ¹ va chapdan U ga ko'paytirib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

A = UAU~^l (7)

A va В n- tartibli kvadrat matritsalar. A va В lar {e_i.} bazisdagi ulami mos operatorlari bo'lsin. U holda A + AB matritsaga A + AB chiziqli operator mos keladi.

Yuqoridagi teoremadan

d&tA = dGtA

kelib chiqadi.

Shunday qilib, chiziqli operatoming matritsasini determinanti bazisni tanlab olishga bog'liq emas. Shu sababli А chiziqli operatoming determinanti detA tushunchasini kiritish mumkin,

6etA = \A\

A - A operatorning ixtiyoriy bazisdagi matritsasi.

3. 
   Chiziqli operatoming xarakteristik ko'phadi.
   

L(V,V) dagi A - chiziqli operator, / - esa aynan operator bo'lsin.

1. 
   ta'rif. A ga nisbatan ко'phad bo'lgan
   

det(A - AI)

A operatoming xarakteristik ko'phadi deyiladi.


26

• 
  fazoda {e_k} bazis berilgan va A = (a^J_k)-A operatoming bu bazisdagi
  matritsasi bo'lsin. U holda A operatoming xarakteristik ko'phadi quyidagi
  ko'rinishda bo'ladi:
  

a] - Я a² ... a"
a\ a\ - Я ... aⁿ₂

^a\ ^a2 ••• °n ~ Л

Xarakteristik ko'phadning Я^к oldidagi koeffisientini d_k orqali belgilab uni

quyidagicha yozamiz:

n

det(^4 - Я1) = ^ <Л_кЯ^к.

k=0

Shunday qilib, ds\(A-M) determinant qiymati bazisni tanlab olishga bog'liq emas, u holda xarakteristik ko'phadning ^ koeffisientlari bazisni tanlab olishga bog'liq emas, ular invariantlar bo'ladi, ya'ni ular bazisni tanlab olishga bog'liq bo'lmagan miqtorlar.

Xususan, d_n_j =a\ +a\ +... + aⁿ_n invariant bo'ladi. Bu invariant A operatoming izi deyiladi va trA orqali belgilanadi:

trA = a] + a⁷: +... + aⁿ.

11. 
    n
    

det( A - Я1) = 0 tenglama A operatoming xarakteristik tenglamasi deyiladi. Chiziqli operatorlarning xos qiymatlari va xos vektorlari.

V_l-n o'lchovli V chiziqli fazoning qism fazosi va A-L(V,V) dagi chiziqli operator bo'lsin.

2. 
   ta'rif. V A operatoming invariant qism fazosi deyiladi, agarda V tegishli barcha x elementlar uchun Ax element ham V da yotsa.
   

A operatoming invariant qism fazolariga ker A va imA qism fazolar misol bo'la oladi.

3. 
   ta'rif. Я son A operatoming xos qiymati deyiladi, agarda shunday noldan farqli
   

Ах = Ях (1)


det(^4 - Я1) =


27

tenglikni qanoatlantiruvchi x element mavjud bo'lsa. Bu xelement A operatorning xos vektori deyiladi.

1. 
   teorema. A son A operatorning xos qiymati bo'lishi uchun uning
   

det(A - AI) = 0

xarakteristik tenglamasini ildizi bo'lishi zarur va etarli.

Isboti. A-A operatorning xos qiymati va x - bu Я songa mos (x ф 0) xos vector

bo'lsin. (1) ni quyidagi ko'rinishda yozamiz:

(A - AI)x = 0.

Shunday qilib, x - nol dan farqli element va oxirgi tenglikdan кег(А-Л1)ф0 kelib chiqadi, ya'ni

dim(ker( A - AI)) > 1. (2)

Ma'lumki,

dim{im{A - AI)) + dim(ker(A -AI)) = n, bu tenglikdan va (2) tengsizlikdan

dim{im{A - AI)) < n -1 (3)

kelib chiqadi.

Ta'rifdan - AI)) A-AI operator rangiga teng. Shu sababli (3)

tengsizlikdan

rang(A - AI) < n (4)

kelib chiqadi.

Shunday qilib, agar Я-xos qiymat bo'lsa, u holda A- AI operatorning A- AI matritsaning rangi n dan kichik, ya'ni det (A - AI) = 0 va demak, Я - xarakteristik tenglamani ildizi.

Endi A — (1) xarakteristik tenglamaning ildizi bo'lsin. U holda (3) tengsizlik o'rinli va demak (2) tengsizlik o'rinli. Bundan esa A son uchun noldan farqli shunday x element mavjudki,

(A - Al)x = 0.

Bu oxirgi tenglik (1) ga ekvivalent, shu sababli A-xos qiymat.

Teorema isbotlandi.


28





Natija. Har qanday chiziqli operator xos qiymatga ega.

Haqiqatan ham, kompleks sonlar nazariyasining asosiy teoremasiga ko'ra

xarakteristik tenglama har doim ildizga ega.

2. 
   teorema. Berilgan {e_k} bazisda A operatoming A matritsasi dioganal
   ko'rinishda bo'lishi uchun, e bazis vektorlari bu operatoming xos vektorlari
   bo'lishi zarur va etarli.
   

Isboti. e bazis vektorlar А operatoming xos vektorlari bo'lsin. U holda

^Ae_k=\^e_k> (!)
shu sababli A operatoming A matritsasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

% 0 ... 0^Л

0. 
   Л ... 0
   

A =


, 0 0 ...A ,