Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar

Ushbu tenglamani qaraymiz.

(2)

Faraz qilamizki, funksiya biror G sohada aniqlangan va x, y bo`yicha uzluksiz.

Ta`rif: Biror I intervalda aniqlangan funksiya (2) differensial tenglamaning yechimi deyiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   I intervalning barcha nuqtalarida, ya`ni da differensiallanuvchi bo`lsa;
   
2. 
   I intervalning barcha nuqtalarida, ya`ni da ;
   
3. 
   I intervalning barcha nuqtalarida, ya`ni da .
   

Izoh: Yechim ta`rifidan va funksiyaning uzluksizligidan hosilaning uzluksizligi kelib chiqadi.

(2) tenglamaning yechimi grafigi xOy tekislikda biror chiziqni tasvirlaydi. Bu chiziqning har bir nuqtasidan urinma chiziq o`tkazish mumkin va y G sohada yotadi, bu chiziq integral egri chiziq deyiladi.

Biror (a, b) intervalda aniqlangan funksiya uchun boshlang`ich funksiyani topish masalasi bizni eng sodda differensial tenglamaga olib keladi.

(4)

Agar funksiya (a, b) da uzluksiz bo`lsa u vaqtda analiz kursidan ma`lumki, bu tenglama yechimi ushbu formula orqali beriladi.

Bunda , – esa ixtiyoriy o`zgarmas. (5) formuladan ko`rinadiki, yechim yagona emas. Yagona yechimni ajratib olish uchun funksiya qiymatini biror x₀ nuqtada aniqlash kerak.

Masalan: deb unda quyidagi masalaga ega bo`lamiz.

buning yechimi yagona va quyidagi formula bilan aniqlanadi.

Yuqoridagi (5) formula tenglamaning barcha yechimlarini o`z ichiga oladi. Xususan (4) masalani (6) ko`rinishidagi yechimi ham undan hosil bo`ladi, agar deb olsak.

Shunday qilib, (5) formula (4) tenglamaning umumiy yechimi va har bir xususiy yechim undan hosil bo`ladi C o`zgarmasning aniq qiymatida.

Koshi masalasi

differensial tenglamaning biror I oraliqda aniqlangan shunday yechimini topilsh talab qilinadiki quyidagi shart bajarilsin.

x=x₀ bo`lganda y=φ(x₀)=y₀ (3)

bo`lsin. Bunda M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)ЄG tayinlangan nuqta geometrik nuqtai nazardan (1) tenglamaning M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) nuqtasidan o`tuvchi integral egri chizig`ini topish talab qilinadi. Bu masala Koshi masalasi yoki boshlang`ich masala deb ataladi.

x₀,y₀ lar esa boshlang`ich qiymatlar, x₀Є I, y₀ — ixtiyoriy son.