Birinchi tartibli differensial tenglamalar

1-ma`ruza

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

Reja:

1. 
   Asosiy ta`rif va tushunchalar.
   
2. 
   Differensial tenglamalarga keltiriladigan masalalar.
   
3. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalar.
   
4. 
   Koshi masalasi.
   
5. 
   Eyler siniq chiziqlari.
   

Asosiy ta`rif va tushunchalar

Erkli o`zgaruvchilar noma`lum funksiya va noma`lum funksiyaning bu erkli o`zgaruvchilar bo`yicha hosilalarini (yoki differensiallarini) bog`lovchi munosabatga differensial tenglama deyiladi.

Boshqacha aytganda noma`lum (izlanuvchi) funksiyaning hosilasi qatnashadigan tenglama differensial tenglama deyiladi.

Masalan: , differensial tenglamalar.

Agar noma`lum funksiya bir argumentli bo`lsa, ya`ni bitta erkli o`zgaruvchiga bog`liq bo`lsa, bunday differensial tenglama Oddiy differensial tenglama deyiladi. Agarda ko`p argumentli bo`lsa, xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

Biz asosan oddiy differensial tenglamalar (O.D.T.) ni o`rganamiz. O.D.T. ning tartibi unda qatnashayotgan hosilalarning yuqori tartibi bilan aniqlanadi:

Masalan: birinchi tartibli O.D.T. , ikkinchi tartibli beshinchi tartibli differensial tenglama. n- tartibli O.D.T. ning umumiy ko`rinishi quyidagicha.

(1)

yoki

(2)

(2) tenglama n- tartibli hosilaga nisbatan yechilgan O.D.T. deyiladi.

Differensial tenglamaning yechimi deb, biror (a,b) oraliqda aniqlangan n marta differensiallanuvchi shunday funksiyaga aytiladiki, ayniyat hosil bo`ladi. Differensial tenglamani yechimini topish amali tenglamani integrali deyiladi. (1) yoki (2) differensial tenglama yechimi bo`lgan funksiyaning grafigi tegishli differensial tenglamaning integral chizig`i deyiladi.

Masalan: differensial tenglamaning yechimi funksiya bo`lsa, integral chiziq sinusoida bo`ladi.

2) tenglamaning barcha yechimlari (bunda ixtiyoriy o`zgarmas). Integral chiziqlar parabolalar.

3) differensial tenglamani barcha yechimlari (bunda ixtiyoriy o`zgarmas) formula orqali ifodalanadi. Bunda yechimlar elementar funksiya orqali ifodalanmagan. Lekin yechimlar differensial tenglamada qatnashgan funksiyaning aniqmas integrali orqali ifodalangan. Bu holda differensial tenglama kvadraturalarda integrallangan deyiladi.

Differensial tenglama oxirigacha integrallangan deyiladi, agar u elementar funksiyalar orqali yoki kvadraturalarda integrallangan bo`lsa.

Misol. 4) differensial tenglama oxirigacha integrallanmaydigan tenglamalardan.

5) differensial tenglamaning barcha yechimlari quyidagi formula orqali ifodalanadi.

,

bu yerda , ,…, lar ixtiyoriy o`zgarmaslar. Bunda ixtiyoriy o`zgarmaslar soni n ta differensial tenglamaning tartibiga teng. Bu hol umumiy ekan, yuqorida keltirilgan misollarga qarang, ya`ni differensial tenglama tartibi bilan uning umumiy yechimida qatnashgan ixtiyoriy o`zgarmaslar soni teng.

n ta o`zaro bog`liq bo`lgan funksiyalar oilasi berilgan bo`lsin: u holda, ma`lum shartlar bajarilganda, shunday differensial tenglama tuzish mumkin bo`ladiki, berilgan funksiyalar yechimlari (integral chiziqlari) bo`ladi. Buning uchun berilgan tenglamalar oilasini n marta x bo`yicha differensiallab, hosil bo`lgan tenglamalar va berilgan tenglamalardan (funksiyalardan) barcha ixtiyoriy o`zgarmaslarni chiqarish kerak. Hosil bo`lgan tenglama berilgan funksiyalar oilasini differensial tenglamasi bo`ladi.

Differensial tenglama kursida differensial tenglamalar sistemasi ham o`rganiladi.

buning yechimi ushbu funksiyalar sistemasidan iborat.

Yuqorida aytib o`tdikki, noma`lum funksiya ko`p argumentli bo`lishi mumkin.

Masalan: bo`lsa, xususiy hosilali birinchi tartibli differensial tenglama.